Mersenne-primtal er primtal på formen 2n-1. Dvs. alle de primtal der kan skrives som en potens af 2 minus 1. De er opkaldt efter den franske munk Marin Mersenne (1588–1648), som undersøgte disse tal, herunder specielt hvorvidt de var primtal. En nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at 2n-1 er primtal, er, at n selv er et primtal, idet hvis p er en ægte divisor i n, så er 2p-1 en ægte divisor i 2n-1.
Der findes forholdsvis simple metoder til at beregne, om et mersennetal er et primtal. Lucas–Lehmer-testen kan bevise, at mersennetallet er primisk ved hjælp af kun n operationer. Dette betyder, at verdens største kendte primtal som regel er mersenneprimtal.
Marin Mersenne påstod, at mersennetallene var primiske for n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257 og sammensatte for øvrige værdier af n. Senere undersøgelser har vist, at n = 67 og 257 ikke giver primtal, og at n = 61, 87 og 107 giver mersenneprimtal.
Der formodes at være uendeligt mange mersenneprimtal, men dette er ikke bevist.
Fra et mersenneprimtal kan man konstruere et fuldkomment tal (Euklid), og alle lige fuldkomne tal fremkommer på denne måde (Euler).
GIMPS er en gruppe på Internettet, som bruger deres ledige computertid til at finde nye og større mersenneprimtal. I oktober 2024 kendtes der i alt 52 mersenneprimtal hvoraf GIMPS havde fundet de 18 største:
#nCifre i 2n-1FundetOpdager121oldtidenukendt231oldtidenukendt352oldtidenukendt473oldtidenukendt51341456ukendt61761588Cataldi71961588Cataldi831101772Euler961191883Pervushin1089271911Powers11107331914Powers12127391876Lucas135211571952Robinson146071831952Robinson151.2793861952Robinson162.2036641952Robinson172.2816871952Robinson183.2179691957Riesel194.2531.2811961Hurwitz204.4231.3321961Hurwitz219.6892.9171963Gillies229.9412.9931963Gillies2311.2133.3761963Gillies2419.9376.0021971Tuckerman2521.7016.5331978Noll & Nickel2623.2096.9871979Noll2744.49713.3951979Nelson & Slowinski2886.24325.9621982Slowinski29110.50333.2651988Colquitt & Welsh30132.04939.7511983Slowinski31216.09165.0501985Slowinski32756.839227.8321992Slowinski & Gage33859.433258.7161994Slowinski & Gage341.257.787378.6321996Slowinski & Gage351.398.269420.92113. november 1996GIMPS362.976.221895.93224. august 1997GIMPS373.021.377909.52627. januar 1998GIMPS386.972.5932.098.9601. juni 1999GIMPS3913.466.9174.053.94614. november 2001GIMPS4020.996.0116.320.43017. november 2003GIMPS4124.036.5837.235.73315. maj 2004GIMPS4225.964.9517.816.23018. februar 2005GIMPS4330.402.4579.152.05215. december 2005GIMPS4432.582.6579.808.358 4. september 2006GIMPS4537.156.66711.185.272 6. september 2008GIMPS4642.643.80112.837.064 12. april 2009GIMPS4743.112.60912.978.189 23. august 2008GIMPS4857.885.16117.425.170 25. januar 2013GIMPS4974.207.28122.338.618 17. september 2015GIMPS5077.232.91723.249.425 26. december 2017GIMPS51*82.589.93324.862.048 7. december 2018GIMPS52*136.279.84141.024.320 21. oktober 2024GIMPS
*Det er endnu ikke bevist at der ikke eksisterer andre mersenneprimtal mellem det 50. og 52. mersenneprimtal. Nummereringen er derfor kun foreløbig.
Se også Fermatprimtal
Eksterne henvisninger www.mersenne.org – GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)
Kategori:Primtal Kategori:Uløste problemer indenfor matematik