I matematik er den harmoniske række en følge af tal, som fremkommer ved summering af tallene , som kaldes den harmoniske talfølge.
Summen af de første led i den harmoniske talfølge, den såkaldte partialsum, er defineret som
der kort kan skrives
Betegnelse
thumb|250px|En svingende streng af længden med knudepunkter i enderne har i sin grundsvingning (øverst) bølgelængden . I de efterfølgende oversvingninger bliver bølgelængderne , og for den -te oversvingning .
Navnet harmoniske række skyldes, at hvert led i følgen er det harmoniske gennemsnit af sine to naboer. Det harmoniske middeltal af to tal, og , er defineret som
Eksempelvis er
Det -te led i den harmoniske række er , så . Det harmoniske gennemsnit af de to naboled til bliver så
altså netop .
Betegnelsen skyldes den indflydelsesrige amerikanske datalog Donald E. Knuth.
Knudepunkterne i en streng (nylonsnøre, violinstreng,...), som vibrerer i resonans, har afstande, som følger den harmoniske talfølge, se illustrationen.
Rækken og dens egenskaber
thumb|hochkant|Nicole Oresme, der som den første matematiker beviste, at den harmoniske række divergerer. Hvordan opfører den harmoniske række sig, når antallet af led går mod uendelig, dvs. har den uendelige sum
en endelig værdi?
Allerede i det 1350 kunne den franske lærde Nicole Oresme vise, at rækken divergerer, den går mod uendelig. Det regnes for et højdepunkt i middelalderens matematik. Han gennemførte det ved ledvis at sammenligne rækken med en anden, hvis led alle var mindre end eller lige leddene i :
Da den sidst skrevne række tydeligvis er ubegrænset, må også være det.
Dog sker tilvæksten langsommere og langsommere
Rækken divergerer (langsomt) mod uendelig.
Man kan bevise, at vokser omtrent så hurtigt som den naturlige logaritme af . Forskellen på de to størrelser har en endelig grænseværdi:
,
hvor er Eulers konstant, .
Mere præcist er
Symbolet beskriver, hvordan rækkens resterende led udvikler sig, når . I den første rækkeudvikling som , et ekstremt lille tal for moderate , i den anden kun som .
Partialsummer for den harmoniske række som brøk som decimalværdi 1 1 1 2 3 / 2 1.5 3 11 / 6 1.83333 4 25 / 12 2.08333 5 137 / 60 2.28333 6 49 / 20 2.45 7 363 / 140 2.59286 8 761 / 280 2.71786 9 7129 / 2520 2.82897 10 7381 / 2520 2.92897 11 83 711 / 27 720 3.01988 12 86 021 / 27 720 3.10321 13 1 145 993 / 360 360 3.18013 14 1 171 733 / 360 360 3.25156 15 1 195 757 / 360 360 3.31823 16 2 436 559 / 720 720 3.38073 17 42 142 223 / 12 252 240 3.43955 18 14 274 301 / 4 084 080 3.49511 19 275 295 799 / 77 597 520 3.54774 20 55 835 135 / 15 519 504 3.59774
Tabellen tydeliggør, at væksten af værdien aftager. For at nå værdierne 10 og 20 kræves betydeligt flere led:
{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:center;" ! colspan="2"| Partialsummer for den harmoniske række, |- ! !! |- | 12 366 || 9.999 962 148 |- | 12 367 || 10.000 043 01 |- | 272 400 599 || 19.999 999 997 9 |- | 272 400 600 || 20.000 000 001 6
Det fremgår af de to tabeller, at for visse ligger tæt på et heltal. Det er dog blevet bevist, at
Den eneste heltallige værdi af er . Differensen hvor er i intet tilfælde et helt tal.
Beslægtede rækker
Også summen af de reciprokke primtal
divergerer mod uendelig, men dette er væsentligt sværere at bevise.
Den alternerende harmoniske række (der ikke er harmonisk!) konvergerer derimod. Ved anvendelse af taylorrækken for den naturlige logaritmefunktion finder man for denne, at:
Anvendelser
thumb|En række homogene blokke nummereret fra ➀ til ➄, alle med længden 2 enheder, er stablet med indrykning. betegner positionen af blok , dens tyngdepunkt, tyngdepunktet af det tårn, som de overliggende blokke danner og blokkens efterspurgte indrykning. Kan man stable en samling ens rektangulære blokke oven på hinanden, så bundfladen på den øverste ligger rager helt uden for bundfladen af den nederste? Lad alle blokke have længden 2 og massen .
Illustrationen viser, hvordan stablen kunne begynde. Vi indfører følgende betegnelser: : Positionen af venstre rand af blok nummer . : Positionen af massemidtpunktet af blok nummer . : Positionen af massemidtpunktet for det tårn, som dannes af blokkene 1 til . : Indrykningen af blok relativt til den overliggende blok , .
Af illustrationen ses, at , og . Hvis blok 1 lige netop ikke må falde af blok 2, så må være blokkens halve længde, altså 1. Derfor er .
Massemidtpunktet (tyngdepunktet) for legemer hver med massen har en -position givet ved
Hvis alle legemer som her har samme masse , så er
så massen udgår af problemet. Med den indførte notation har vi altså, at
og dermed
Massemidtpunktet for det næste tårn (blokkene fra 1 til ) er
Med et skift af indeks fås
For lige netop at opretholde ligevægt, må positionen af blok være over massemidtpunktet for det overliggende tårn af blokke:
Blokkens eget massemidtpunkt ligge i alle tilfælde den halve bloklængde længere fremme
Blokkens ekstra indrykning er
Med baggrund i ovenstående beregninger kan vi finde en værdi for denne indrykning:
Indrykningerne danner altså den harmoniske talfølge og deres sum er derfor netop !
Nedenstående tabel viser som illustration faktiske værdier for de beskrevne størrelser, alle skrevet som brøker:
{| class="wikitable" style="text-align: center; width:100%" |+ Parametre for stakkede blokke "CM": center of mass, massemidtpunkt |- ! Indeks || colspan="3" | Position || colspan="3" | Blok CM || colspan="3" | Tårn CM || colspan="3" | Indrykning |- | 1 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 0 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 1 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 1 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 1 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 1 |- | 2 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 1 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 2 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 1 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 3 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2 |- | 3 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 3 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 5 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 11 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 6 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 3 |- | 4 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 11 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 6 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 17 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 6 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 25 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 12 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 4 |- | 5 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 25 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 12 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 37 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 12 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 137 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 60 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 5 |- | 6 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 137 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 60 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 197 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 60 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 49 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 20 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 6 |- | 7 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 49 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 20 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 69 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 20 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 363 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 140 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 7 |- | 8 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 363 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 140 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 503 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 140 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 761 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 280 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 8 |- | 9 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 761 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 280 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1041 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 280 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 7129 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2520 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 9 |- | 10 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 7129 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2520 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 9649 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2520 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 7381 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 2520 | style="text-align: right; border-right-style:hidden;" | 1 | / | style="text-align:left; border-left-style:hidden;"| 10
thumb|Demonstration med virkelige ens klodser, der stables ifølge den harmoniske række, så den øverste blok rager ud over den nederstes understøtningsflade. Konstruktionen er meget ustabil!
Andre beslægtede definitioner
Den generelle harmoniske række er på formen
Rækken er faktisk harmonisk. Med fås nemlig, at:
Man kan vise, at alle harmoniske rækker divergerer.
Rækkerne
hvor er et positivt reelt tal kaldes p-rækkerne. Rækkerne konverger for p > 1 og divergerer ellers. For er rækken den harmoniske række. Hvis er summen af rækken lig med , hvor er Riemanns zetafunktion.
Rækker som indeholder harmoniske tal
Som et kuriosum kan man bevise blandt andre følgende uendelige summer:
Her betegner igen Riemanns zeta-funktion.
Kilder
Se også Riemanns zetafunktion
Kategori:Matematisk analyse Kategori:Talteori Kategori:Matematiske rækker