I matematikken er en gruppe et matematisk objekt med en bestemt struktur. Herunder følger en liste over de endelige grupper med lavest orden (antal elementer) op til gruppeisomorfi.
Listen kan benyttes til at bestemme om en given endelig gruppe G er isomorf på en kendt gruppe ved at bestemme ordenen af G, om G er abelsk eller ej og ordenen af elementerne i G.
Ordliste
Zn: Den cykliske gruppe af orden n (ofte benyttes notationen Cn eller Z/nZ). Dihn: Diedergruppen af orden 2n (ofte benyttes notationen Dn eller D2n). Sn: Den symmetriske gruppe af grad n, som indeholder de n! permutationer af n elementer. An: Den alternerende gruppe af grad n, der indeholder de n!/2 lige permutationer af n elementer. Dicn: Den dicykliske gruppe af orden 4n.
Notationen G × H står for det direkte produkt af to grupper og Gn betegner det direkte produkt af gruppen G med sig selv n gange. G ⋊ H står for det semidirekte produkt, hvor H virker på G; virkningen nævnes ikke, da alle ikketrivielle virkninger giver samme produktgruppe op til isomorfi.
Desuden bemærkes, om grupperne er abelske eller simple. (For grupper af orden n < 60, er de simple grupper præcis de cykliske grupper Zp, hvor p er et primtal.) Isomorfi betegnes med lighedstegn ("=").
Det multiplikativt neutrale element er i cykelgrafen repræsenteret af den sorte cirkel. Cykelgrafen er en entydig repræsentation for alle grupper med orden mindre end eller lig 16.
I listen af undergrupper er den trivielle gruppe og gruppen selv ikke vist. Når der er flere isomorfe undergrupper, er antallet angivet i parentes.
Små abelske grupper De endelige abelske grupper kan let klassificeres: De er præcis de cykliske grupper og direkte produkter heraf;
Orden Gruppe Undergrupper Egenskaber Cykelgraf 1 Den trivielle gruppe = Z1 = S1 = A2 - Forskellige egenskaber gælder trivielt. center 2 Z2 = S2 = Dih1 - Simpel, mindste ikketrivielle gruppe center 3 Z3 = A3 - Simpel center 4 Z4 Z2 center Kleins firegruppe Z2 × Z2 = Dih2 Z2 (3) Den mindste ikkecykliske gruppe center 5 Z5 - Simpel center 6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2 center 7 Z7 - Simpel center 8 Z8 Z4 , Z2 center Z4 ×Z2 Z2², Z4 (2), Z2 (3) center Z23 Z2² (7) , Z2 (7) På nær det neutrale element svarer elementerne til punkterne i Fanoplanen. center 9 Z9 Z3 center Z3² Z3 (4) center 10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2 center 11 Z11 - Simpel center 12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2 center Z6 × Z2 = Z3 × Z2² Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z2² center 13 Z13 - Simpel center 14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2 center 15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3 center 16 Z16 Z8 , Z4 , Z2 center Z24 Z2 (15) , Z2² (35) , Z23 (15)</td> center Z4 × Z2² Z2 (7) , Z4 (4) , Z2² (7) , Z23, Z4 × Z2 (6) center Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z2², Z8 (2) , Z4 × Z2 center Z4² Z2 (3), Z4 (6) , Z2², Z4 × Z2 (3)</td> center
Små ikkeabelske grupper
Orden Gruppe Undergrupper Egenskaber Cykelgraf 6 S3 = Dih3 Z3 , Z2 (3) Den mindste ikkeabelske gruppe center 8 Dih4 Z4, Z2² (3) , Z2 (5) center Kvaterniongruppen, Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 Den mindste hamiltonske gruppe center 10 Dih5 Z5 , Z2 (5) center 12 Dih6 = Dih3 × Z2 Z6 , Dih3 (2) , Z2² (3) , Z3 , Z2 (7) center A4 Z2² , Z3 (4) , Z2 (3) Den mindste gruppe, der viser, at en gruppe ikke nødvendigvis har en undergruppe af enhver orden, der går op i gruppeordenen: Der findes ingen undergruppe af orden 6 (se Lagranges sætning og Sylowsætningerne). center Dic3 = Z3 ⋊ Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6 center 14 Dih7 Z7, Z2 (7) center 16Wild, Marcel. "The Groups of Order Sixteen Made Easy ", American Mathematical Monthly, januar 2005 Dih8 Z8, Dih4 (2), Z2² (4), Z4, Z2 (9) center Dih4 × Z2 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z2² (7), Z4 (2), Z2 (11) center Den generaliserede kvaterniongruppe, Q16 = Dic4 center Q8 × Z2 Hamiltonsk center Den kvasihedrale gruppe af orden 16. center Den modulære gruppe af orden 16. center Z4 ⋊ Z4 center Gruppen frembragt af Paulimatricerne. center G4,4 = Z2² ⋊ Z4 center
Fodnote
Kategori:Gruppeteori