Tilfældigheder er begivenheder uden en egentlig årsag. Som ved uforudsigelige hændelser uden forsæt. I matematik, sandsynlighedsregning og statistik anvendes der formelle definitioner på tilfældighed. Eksempelvis i sandsynlighedsregning er en stokastisk variabel en "tilfældig" variabel, der antager en tilfældig værdi i et givet udfaldsrum (dvs. mængde). Man kan så muligvis beregne sandsynligheden for det enkelte udfald, eller delmængder af udfaldsrummet. En tilfældig proces er en række af tilfældige variable, hvis udfald ikke følger et deterministisk mønster. Disse og andre matematiske begreber anvendes inden for bl.a. sandsynlighedsteori, kryptografi, spilteori og andre områder.
Eksempler på tilfældige hændelser i naturen er, at der spontant sker mutationer i gener. Retningsløse ændringer i mikroskala fik påviselig virkninger på makroskalaen (evolution).[i] Hvornår det enkelte atom ændrer energitilstand sker uregelmæssigt uden ydre påvirkning (kvantefysik).
En tilfældig række hændelser har ingen orden og følger hverken mønster eller kombination. Tilfældige begivenheder er per definition uforudsigelige. Dog kan man forudsige forekomsten af specifikke udfald ud af et stort antal hændelser. For eksempel ved kast med terninger, hvor udfaldet af hvert kast er tilfældigt, men gennemsnittet på lang sigt er 3,5 ifølge Store tals lov. Fra det synspunkt er tilfældighed et mål for usikkerhed og findes i held, Sandsynlighedsregning og informationsentropi.
Desuden findes resultatet loven om virkeligt store tal, som siger, at med et tilstrækkeligt stort antal muligheder (og tid) vil ethvert "vildt" udfald nok ske.
Tilstrækkeligt usandsynlige hændelser indtræffer aldrig (Borels lov). Niveauer herfor afhænger imidlertid af på hvilken skala, der er tale om: spil, menneskelig, jordisk eller kosmisk. Hændelser falder indenfor en Normalfordeling i den idealiserede verden. Er der en anden fordeling (Cauchy) ændres chancen for udfald udenfor "det normale" dramatisk fra usandsynligt til sandsynligt.[ii]
Tilfældighed bruges oftest i statistik til at betegne veldefinerede statistiske egenskaber. Monte Carlo-metoder, som afhænger af et tilfældigt input, som f.eks. fra en tilfældighedsgenerator eller en pseudotilfældighedsgenerator, er vigtige metoder indenfor videnskaben.Third Workshop on Monte Carlo Methods , Jun Liu, Professor of Statistics, Harvard University
Tilfældig udvælgelse er en metode til at udvælge enheder fra en gruppe, hvor sandsynligheden for at vælge en specifik enhed er den proportionelle andel af dem: en skål med 10 røde kugler og 90 blå kugler, vil en tilfældig udvælgelse af en kugle give 1/10 sandsynlighed for en rød kugle. Vær opmærksom på, at en tilfældig udvælgelse af 10 kugler ikke nødvendigvis vil give 1 rød og 9 blå kugler. I situationer hvor en gruppe indeholder enheder der er adskillelige, det vil sige, ikke sammenhængende med hinanden, har alle enhederne den samme sandsynlighed for at blive udvalgt.
Historie thumb|Fresko af terningspillere fra Pompeji. Kasualisme er den filosofiske anskuelse at verden, dens opståen og udvikling alene beror på tilfældigheder.
I oldtiden var chance og tilfældighed tæt forbundet med skæbne. Mange i oldtiden kastede terninger for at få afgjort skæbnen. Det udviklede sig til de moderne chancespil. De fleste gamle kulturer anvendte spådom for at undgå tilfældighedernes spil og skæbnen.Handbook to life in ancient Rome by Lesley Adkins 1998 page 279Religions of the ancient world by Sarah Iles Johnston 2004 page 370
Kineserne var sandsynligvis de første til at formalisere regler med chancer og odds for mere end 3000 år siden. Græske filosoffer diskuterede tilfældighed indgående, dog kun på det abstrakte plan. Det var ikke før det 16. århundrede at italienske matematikere begyndte at beregne sandsynlighederne (odds) for forskellige chancespil. Udviklingen af differential- og integralregning muliggjorde yderligere arbejde på det matematiske studium af tilfældighed. I 1888-udgaven af John Venns bog The Logic of Chance skrev han et kapitel om sit syn på tilfældigheden i cifrene i π, ved at lave en tilfældig gåtur ud fra de enkelte cifre.Annotated readings in the history of statistics by Herbert Aron David, 2001 page 115.
I begyndelsen af det 20. århundrede skete en voldsom udvikling i den formelle analyse af tilfældighed efterhånden som flere matematiske metoder til analysen blev introduceret. I midten til slutningen af det 20. århundrede introduceredes nye ideer om algoritmisk informationsteori til området via algoritmisk tilfældighed.
Selv om tilfældighed ofte var set som en forhindring eller et problem igennem mange år, indså man i det 20. århundredes datalogi, at man kunne designe bedre algoritmer ved at indføre tilfældigheder. I nogle tilfælde vil sådanne randomiserede algoritmer løse opgaver hurtigere end algoritmer, der anvender deterministiske metoder.
I videnskaben Der er adskillige videnskabsgrene, der beskæftiger sig med tilfældighed. Mange store opdagelser er sket ved "heldige tilfælde" Serendipitet.
Fysikken I det 19. århundrede anvendte videnskaben ideen om tilfældige bevægelser i udviklingen af statistisk mekanik til at forklare fænomener i termodynamik og gassers egenskaber. Herunder de tilfældige Brownske bevægelser af partikler eller celler (synlige eller mikroskopiske), der har årsag i, at væske eller gassers molekyler (mindre end (lys)mikroskopisk størrelse) ”skubber på”.
Ifølge standardfortolkningen af kvantemekanik er fænomener på molekylær- eller atomarniveau objektivt tilfældige og uden (påviselig) årsag.Nature.com in Bell's aspect experiment: Nature Det vil sige at i et eksperiment, hvor man kontrollerer alle de faktorer man kan, vil nogle dele af eksperimentet stadig variere tilfældigt. Hvis man for eksempel placerer et enkelt ustabilt atom i et strengt kontrolleret miljø, kan man ikke forudsige hvornår atomet vil henfalde, kun sandsynligheden for det i en given tidsperiode."Each nucleus decays spontaneously, at random, in accordance with the blind workings of chance." Således forudsiger kvantemekanik kun sandsynligheder for specifikke udfald af eksperimenter, ikke et præcist udfald.
Såkaldt Skjult variabel teori afviser (hypotetisk), at naturen indeholder ureducerbar tilfældighed. Disse teorier postulerer, at i en proces der virker tilfældig, er der egenskaber med en definitiv statistisk distribution virker bagved, og derved afgør udfaldet i hvert enkelt tilfælde. Modsat kan det med moderne kaosteori måske bygges bro imellem en klassisk (fysik) deterministisk verden og en verden med tilfældighed indeterminisme.
Nobelprisen i fysik 2022 blev givet til de tre pristagere for deres tidligere eksperimenter der entydigt beviste at ved at måle på ‘en lys-partikel, så vil tilstanden på en anden lys-partikel samtidigt ændres/koordineres. Det betyder at forestillinger om såkaldte skjulte variabler/ årsagssammenhænge, ikke har kunnet opretholdes.
At alle snefnug er forskellige, skyldes tilfældigheder under dannelsen.
Biologien Evolutionen foregår ud fra den variation, der er til rådighed i arvemassen, hvilket sætter grænser for, hvorledes den vil kunne forløbe. Den har dermed en hvis forudsigelighed, men de biologiske effekter vil ofte have helt vilkårlige sider. En kilde til fornyelser (gen-variation) i arvemassen er de spontane genmutationer, der er tilfældige og retningsløse. Naturlig selektion virker ud fra ”de forhåndenværende søm” og fra de evt. tilkomne nyheder. Tilfældige ændringer i miljøet, klima og landskab, har betydning for den naturlig selektion, men også for forgreninger artsdannelser og forsvinden. Tilpasning ved udelukkende at vente på en ny gunstig mutation, der kan løse en akut udfordring, kan synes at ligge ligefor. Men chancen for at en mutation etableres i en population er lille på grund af rene tilfældigheder herunder genetisk drift.[i]
Mutationer med negativ effekt forsvinder igen, da bærerne normalt er dårligt stillede, og dog er det tilfældigvis således, at bærere af genet for sejlcelleanæmi er beskyttede mod malaria. Begge sygdomme er dødelige, men sejlcelleanæmi kommer kun til udtryk, hvis begge forældre har genet. Således ”overlever” genet sammen med personer, der ikke kan få malaria pga. dette gen.
Fingeraftryks grundlæggende mønstre bestemmes delvis af generne, mens detaljerne er helt tilfældige. Selv enæggede tvillinger har ikke samme fingeraftryk.
Frie radikaler er dannelse af tilfældige molekyler (ved oxidation). Skadelige forsøges forhindret ved øget indtagelse af antioxidanter i kosten.
Matematikken Sandsynlighedsteori stammer fra forsøget at lave matematiske beskrivelser af tilfældige hændelser, oprindeligt i sammenhæng med chancespil, senere i forbindelse med fysik. Statistik bruges til at udlede den underliggende sandsynlighedsfordeling af en samling empiriske observationer. Til Simulationer er det nødvendigt at have et stort antal tilfældige tal, eller i det mindste en måde hvorpå store mængder af tilfældige tal kan genereres efter behov.
Algoritmisk informations teori undersøger, blandt andet, hvad der udgør en tilfældig række. Kerneideen er et en bitstreng er tilfældig hvis, og kun hvis, den er kortere end det computer program der kan fremstille den streng (Kolmogorovske model). Pionererne indenfor dette felt er Andrej Kolmogorov og hans studenter Per Martin-Löf, Ray Solomonoff og Gregory Chaitin. For begrebet uendelig række anvendes typisk Per Martin-Löfs definition. Nogle andre begreber indenfor tilfældige rækker er: rekursiv tilfældighed og Schnorrs tilfældighed. Det er blevet vist af Yongge Wang Yongge Wang: Randomness and Complexity. at disse begreber adskiller sig fra hinanden.
Tilfældighed forekommer i ex. tal størrelsen log 2 og i Inkommensurabeler som ex. de geometriske konstanter kvadratroden af 2 (√2) og pi π. π's decimaler udgør en uendelig række og gentager sig aldrig i en cyklus. Numre som π anses for normale, hvilket vil sige at cifrene er tilfældige hvis man ser statistisk på dem. π virker tilsyneladende på den måde. I de første 6 milliarder decimaler af tallet, forekommer tallene 0 til 9 ca. 600 millioner gange hver (1/10). Selv sådan en massiv base, kan forekomme ved et tilfælde og er ikke noget endegyldigt bevis på normalitet, selv ikke i titalssystemet, ej heller i andre talsystemer. π decimalerne opfylder alle kriterier for en tilfældig ‘ustruktureret’ rækkefølge, men indgår samtidigt i cirklens ‘struktur’’.
Benfords lov (1’tals loven) siger at 1 er første ciffer (cirka 30%)i mange datasæt fra den virkelige verden. Det gælder også for terning kast.
Ved 10.000 kast vil udfald fordele sig cirka ligeligt, med 1/6 til hver.
Ved 10.000 omgange a’ 100 kast og når hvert udfaldsværdi lægges sammen med det næste udfalds o.s.v. giver det en normalfordeling med gennemsnit på 350/100.
Ved 10.000 omgange a’ 15 kast, men hvor hver udfaldsværdi nu ganges med det næste udfalds o.s.v. så giver det en log-normalfordeling (gennemsnit på 76 mia.). I en log-normalfordeling fylder 1(-2) entervallet 30,1% (af hvert tifold) og dermed også med 30,1% hyppighed. 2-3 fylder 17,8, 3-4 12,5% o.s.v. til 9-10 med 4,6%.
En general matematisk finurlighed at, summering af uafhængige tilfældige variabler hælder mod en normalfordeling og en multiplicering af dem hælder mod en log-normal. Men Ikke alle datasæt, fra den virkelige verden, opfylder BL og omvendt nogle af dem der opfylder BL har ikke log-normal fordeling.
https://towardsdatascience.com/benfords-law-a-simple-explanation-341e17abbe75
Statistikken I statistik bruges tilfældighed til at udvælge en mindre del af en større gruppe. På den måde kan man få realistiske data ved undersøgelser af større grupper uden at undersøge hele gruppen. De mest almindelige metoder til dette er ved trække navne op af for eksempel en hat, eller bruge en tilfældigt ciffertabel.