Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi () on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alkuperäisen matriisin alkiot niiden alideterminanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vastaluvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.
Liittomatriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi (), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konjugaattista transpoosia.
Määritelmä
Matriisin A liittomatriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:
.
Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.
Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestysnumeroiden summa on pariton, korvataan vastaluvuillaan. Täten saadaan alkuperäisen matriisin A kofaktorimatriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktorimatriisin transpoosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).
Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alkuperäisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liittomatriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alkuperäisen matriisin A käänteismatriisi.
Esimerkkejä
2 × 2 -matriisin liittomatriisi
2 × 2 -matriisin
liittomatriisi on . Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
3 × 3 -matriisin liittomatriisi
Käsitellään -matriisia
Muodostetaan ensin alideterminantit:
, ,
, ,
, ,
Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:
Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:
missä .
Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
Ominaisuuksia
Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:
kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1. Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:
Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:
Lisäksi,
ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
Käänteismatriisi
Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:
missä on n×n -yksikkömatriisi.
Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.
Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on
ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että
Karakteristinen polynomi
Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:
missä luvut ovat p(t):n kertoimet,
Jacobin kaava
Liittomatriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:
Lähteet
Viitteet
Kirjallisuutta
Luokka:Matriisit