thumb|300px|Ordinaalien esitystapa :aan saakka. Jokainen spiraalin kierros vastaa :n seuraavaa potenssia Ordinaali eli ordinaaliluku on joukko-opissa käytetty luonnollisen luvun käsitteen yleistys, jolla kuvataan tapoja sijoittaa johonkin kokoelmaan kuuluvat kohteet peräkkäiseen järjestykseen, yksi toisensa jälkeen. Jokainen äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa järjestykseen yksinkertaisesti laskemalla ne: tällöin jokainen kohde saa järjestysluvukseen jonkin kokonaisluvun. Käytännössä ordinaaliluvut voidaan ajatella vaikkapa numerolapuiksi, joiden avulla kohteet voidaan asettaa määrättyyn järjestykseen.
Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaaliluvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvinjärjestykseksi. Hyvinjärjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, seuraajaordinaali, kuten on laita luonnollisten lukujen , mutta toiset ordinaalit kuten eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan rajaordinaaleiksi.
Ordinaalit on erotettava kardinaaliluvuista, joiden avulla voidaan ilmoittaa, kuinka monta kohdetta jossakin kokoelmassa on. Äärellisten lukujen tapauksessa kardinaali- ja ordinaaliluvut vastaavat kääntäen yksikäsitteisesti toisiaan; esimerkiksi ordinaaliluvusta voidaan siirtyä vastaavaan kardinaalilukuun laskemalla nimilaput. Sitä vastoin kaksi tai useampikin eri ääretöntä ordinaalia voi vastata samaa kardinaalia (katso Hilbertin hotelli). Muiden lukujen tapaan ordinaalejakin voidaan laskea yhteen, kertoa tai korottaa potenssiin, mutta äärettömien ordinaalien tapauksessa yhteen- ja kertolasku eivät ole kommutatiivisia.
Ordinaalit otti käyttöön Georg Cantor vuonna 1883 käsitelläkseen äärettömiä jonoja ja luokitellakseen johdetut joukot, jotka hän oli vuonna 1872 ottanut käyttöön tutkiessaan trigonometristen sarjojen yksikäsitteisyyttä.
Ordinaalit luonnollisten lukujen laajennuksena
Luonnollisia lukuja, joihin tässä yhteydessä luetaan myös nolla, voidaan käyttää kahteen tarkoitukseen: niillä voidaan ilmaista joukon suuruus, tai niillä voidaan ilmaista kohteen sijainti, kun ne on asetettu peräkkäisjärjestykseen. Tavanomaisessa kielessä luonnollisia lukuja vastaavat edellisessä tapauksessa kardinaali- eli peruslukusanat (yksi, kaksi, kolme jne.), jälkimmäisessä tapauksessa ordinaali- eli järjestyslukusanat (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.) Matematiikassa näillä ei kuitenkaan äärellisten lukujen tapauksessa ole oleellista eroa, sillä jokaista äärellistä kardinaalilukua vastaa yksi äärellinen ordinaaliluku ja päinvastoin. Näin ollen kaikki tavat, joilla tietty äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa peräkkäiseen järjestykseen, ovat keskenään isomorfisia. Äärettömien joukkojen tapauksessa asia on kuitenkin toisin; joukon "suuruutta" ja alkion paikkaa jonossa on kuvattava eri käsittein, joista ensinmainittu johtaa äärettömiin kardinaalilukuihin, jälkimmäinen ordinaaleihin. Näin on tehtävä, koska äärettömänkin joukon "suuruus", mahtavuus eli kardinaliteetti, on yksikäsitteisesti määritettävissä, mutta on useita keskenään ei-isomorfisia tapoja hyvinjärjestää sen alkiot, kuten jälkempänä tarkemmin kuvataan.
Kardinaaliluvun käsite liittyy joukkoon, jolla ei tarvitse olettaa olevan mitään erityistä matemaattista struktuuria. Sen sijaan ordinaalit liittyvät niin läheisesti niin sanottuihin hyvinjärjestettyihin joukkoihin, että joidenkuiden matemaatikkojen mielestä ordinaalin ja hyvinjärjestyksen käsitteillä ei tarvitse tehdä mitään eroa. Hyvinjärjestetty joukko on täydellisesti järjestetty joukko, eli joukko, jonka kahdesta eri alkiosta jompikumpi on aina pienempi kuin toinen, ja jossa lisäksi ei ole ääretöntä laskevaa sarjaa (joskin äärettömiä nousevia sarjoja voi olla); yhtäpitävästi voidaan sanoa että sen jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on pienin alkio. Ordinaaleilla voidaan merkitä minkä tahansa hyvinjärjestetyn joukon alkioita (pienin niistä saa tunnukseksi luvun 0, toiseksi pienin luvun 1, seuraava luvun 2 ja niin edelleen), ja niillä voidaan mitata joukon "pituus", joksi saadaan pienin ordinaali, jolla ei ole merkitty mitään joukon alkiota. Tätä "pituutta" sanotaan joukon järjestystyypiksi.
Jokaisen ordinaalin määrittelee sitä edeltävien ordinaalien joukko; itse asiassa ordinaalit määritellään nykyisin useimmiten "samastamalla" kukin ordinaali sitä edeltävien ordinaalien joukon kanssa. Esimerkiksi ordinaali 42 on sitä pienempien ordinaalien joukon järjestystyyppi; tähän joukkoon kuuluvat ordinaalit 0:sta eli pienimmästä ordinaalista ordinaaliin 41 saakka, joka on 42:n välitön edeltäjä, ja se voidaan samastaa joukon kanssa. Kääntäen jokainen ordinaalien joukko , joka on alaspäin suljettu (eli jolle pätee, että jos jokin ordinaali α kuuluu joukkoon ja jos toinen ordinaali , niin myös kuuluu joukkoon ), on itse ordinaali tai voidaan samastaa jonkin ordinaalin kanssa.
On myös äärettömiä ordinaaleja. Pienin ääretön ordinaali on , joka on luonnollisten lukujen (äärellisten ordinaalien) järjestystyyppi. Se voidaan edellä mainitulla samastaa luonnollisten lukujen joukon kanssa, sillä luonnollisten joukko on hyvin järjestetty, kuten jokainen ordinaalien joukko, ja koska se on alaspäin suljettu, se voidaan samastaa siihen liittyvän ordinaalin kanssa, mikä on täsmälleen se tapa, jolla on määritelty.
pienoiskuva|oikea|Ordinaalin esitys tikkujen jonolla Jokainen tikku vastaa jotakin muotoa olevaa ordinaalia, missä ja ovat luonnollisia lukuja.
Ehkä selvempi intuitiivinen käsitys ordinaaleista saadaan tutkimalla joitakin ensimmäisiä niistä. Kuten edellä todettiin, ne alkavat luonnollisista luvuista . Kaikkien luonnollisten lukujen jälkeen tulee ensimmäinen ääretön ordinaali , sen jälkeen , , ja niin edelleen. (Miten äärettömien ordinaalien yhteenlasku määritellään, kerrotaan jäljempänä osiossa ordinaalien laskutoimitukset ; tässä vaiheessa on syytä ajatella , , ja niin edelleen vain ordinaalien nimiksi.) Kaikkien tällaisten jälkeen tulee (eli ), , ja niin edelleen, kaikkien tällaisten jälkeen ja vastaavalla tavalla myöhemmin . Kaikkien tällä tavoin muodostettujen ordinaalien joukolla ( olevaa ordinaalia, missä ja ovat luonnollisia lukuja) täytyy itselläänkin olla siihen liittyvä ordinaali, ja se on . Edelleen saadaan vastaavalla tavalla , ja niin edelleen, sekä lopulta , ja paljon myöhemmin vihdoin , joka voidaan esittää raja-arvona muodossa
Kaikki nämä ovat vielä suhteellisen pieniä, numeroituvien joukkojen ordinaalilukuja. Tätä voidaan jatkaa äärettömän kauas; itse asiassa "äärettömän kauas" onkin juuri se, mihin ordinaalit soveltuvat: joka kerta kun ordinaaleja lueteltaessa sanotaan "ja niin edelleen", tämä sanonta määrittelee suuremman ordinaalin. Pienin ylinumeroituva ordinaali on kaikkien numeroituvien ordinaalien joukko, jolle käytetään merkintää .
Määritelmiä Hyvinjärjestetyt joukot
Hyvinjärjestetyssä joukossa jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on pienin alkio. Valinta-aksiooman mukaan tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että joukko on täydellisesti järjestetty ja että siinä ei ole ääretöntä laskevaa jonoa, mikä on ehkä helpommin hahmotettavissa. hyvinjärjestyksen käytännössä tärkein merkitys on siinä, että se mahdollistaa transfinittisen induktion: jos siitä, että jokin ominaisuus on jonkin alkion kaikilla edeltäjillä, seuraa, että se on myös kyseisellä alkiolla, silloin tämä ominaisuus on koko joukon kaikilla alkioilla, edellyttäen, että joukko on hyvinjärjestetty. Tällä on merkitystä myös tietotekniikassa: jos jokin laskentamenetelmä voidaan hyvinjärjestää siten, että jokaista askelta seuraa "alempi" askel, laskenta ei jatku loppumattomiin.
Kahta hyvinjärjestettyä joukkoa ja sanotaan järjestysisomorfisiksi, jos jokaista joukon alkiota vastaamaan voidaan asettaa jokin joukon alkio siten, että jos joukon alkio on pienempi kuin joukon alkio , on myös alkiota vastaava alkio joukossa pienempi kuin alkiota vastaava alkio joukossa ja päinvastoin. Tällaista eri joukkojen alkioiden vastaavuutta sanotaan järjestysisomorfismiksi. Järjestysisomorfiset joukot ovat järjestyksen kannalta samanlaisia, ja niistä voidaankin sanoa, että niiden alkiot on vain "nimetty eri tavoin.". Joukkojen järjestysisomorfisuus on selvästikin ekvivalenssirelaatio. Mikäli kahden hyvinjärjestetyn joukon välillä on järjestysisomorfismi, sellaisia on vain yksi: tämä seikka osaltaan oikeuttaakin pitämään näitä joukkoja oleellisesti samoina ja etsiä isomorfismityypille (luokalle) "kanonista" edustajaa. Ordinaalit ovatkin juuri sellaisia isomorfismityyppien "kanonisia" edustajia, ja niitä voidaankin käyttää jokaisen hyvinjärjestetyn joukon merkitsemistapoina.
Muodollisesti jos osittainen järjestys on määritelty joukossa ja osittainen järjestys joukossa , osittain järjestetyt joukot ja ovat järjestysisomorfismia, jos niiden välillä on olemassa bijektio , joka säilyttää järjestyksen eli , jos ja vain jos . Jokainen hyvinjärjestetty joukko on järjestysisomorfinen niiden ordinaalien joukon kanssa, jotka ovat pienempi kuin se ordinaaliluku, joka ilmaisee joukon järjestystyypin.
Alkujaan ordinaalit käsitettiin hyvinjärjestettyjen joukkojen isomorfialuokiksi, toisin sanoen järjestysisomorfisuutta merkitsevän ekvivalenssirelaatioon liittyviksi ekvivalenssiluokiksi. Tähän liittyy kuitenkin se tekninen ongelma, että tämä ekvivalenssiluokka on liian laaja, jotta sitä voitaisiin käsitellä joukkona joukko-opin tavanomaisessa Zermelon–Frankelin aksioomiin perustuvassa muotoilussa. Tämä vaikeus on kuitenkin voitettavissa. Ordinaaleja voidaan sanoa joukkojen järjestystyypeiksi.
Ordinaalin määritelmä ekvivalenssiluokkana
Ordinaaliluvun alkuperäisessä määritelmässä, joka löytyy esimerkiksi teoksesta Principia Mathematica, hyvinjärjestetyn joukon järjestystyyppi määritellään kaikkien niiden hyvinjärjestysten joukkona, jotka ovat tämän kanssa järjestysisomorfisia; toisin sanoen ordinaaliluvut ovat hyvinjärjestettyjen joukkojen muodostamia ekvivalenssiluokkia. Tämä määritelmä joudutaan kuitenkin hylkäämään Zermelon–Fraenkelin esittämässä ja sitä muistuttavissa joukko-opin aksiomatisoinneissa, koska nämä ekvivalenssiluokat ovat liian laajoja ollakseen joukkoja. Määritelmää kuitenkin voidaan kuitenkin yhä käyttää tyyppiteoriassa sekä Quinen aksiomaattisessa joukko-opissa (New Foundation) ja sitä muistuttavissa muotoiluissa (joissa se myös tarjoaa sangen yllättävän vaihtoehtoisen ratkaisun suurinta ordinaalia koskevalle Buralin–Fortin paradoksille).
Von Neumannin ordinaalien määritelmä Muutamat ensimmäiset Von Neumannin ordinaalit
Sen sijaan että ordinaalit määriteltäisiin hyvinjärjestettyjen joukkojen ekvivalenssiluokkina, ne määritellään nykyisin yleisimmin tiettyinä hyvinjärjestettyinä joukkoina, jotka (kanonisesti) edustavat kutakin luokkaa. Niinpä jokainen ordinaaliluku on hyvinjärjestetty joukko, ja jokainen hyvinjärjestetty joukko on järjestysisomorfinen yhden ja vain yhden ordinaaliluvun kanssa.
Standardi, John von Neumannin esittämä määritelmä kuuluu: jokainen ordinaali on kaikkien sitä pienempien ordinaalien hyvinjärjestetty joukko. Matemaattisin merkinnöin, . Muodollisesti:
Joukko on ordinaali, jos ja vain jos on aidosti hyvinjärjestetty joukon jäsenyyden suhteen ja jokainen joukon alkio on myös joukon osajoukko.
Myös luonnolliset luvut ovat tämän määritelmän muokaan ordinaaleja. Esimerkiksi luku 2 kuuluu joukkoon ja 2 on joukko , joten se on myös joukon osajoukko.