Projektiivinen geometria on geometrian ala, joka tutkii ominaisuuksia, jotka säilyvät keskeisprojektioissa tasolta tasolle. Projektiivisessa geometriassa pisteiden oletetaan sijaitsevan projektiivisessa avaruudessa, jossa voidaan intuitiivisesti ajatella olevan enemmän pisteitä kuin yhtä moniulotteisessa euklidisessa avaruudessa, ja näiden "ylimääräisten" pisteiden eli ideaalipisteiden voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Projektiivisessa geometriassa sallitaan myös sellaiset geometriset muunnokset, joissa nämä ideaalipisteet kuvautuvat tavanomaisen avaruuden pisteille tai päinvastoin.
Projektiivisen geometrian yhtenä virikkeenä on ollut perspektiivioppi. Perspektiivisesti sellaisetkin suorat, jotka todellisuudessa ovat yhdensuuntaisia, esimerkiksi ratakiskot, näyttävät kaukana kohtaavan toisensa. Tämän vuoksi niiden voidaan ajatella leikkaavan toisensa "äärettömän kaukana". projektiivisessa geometriassa tavanomaiseen avaruuteen lisätäänkin kutakin yhdensuuntaisten suorien ekvivalenssiluokkaa kohti yksi "äärettömän kaukainen" piste. Kun tasoon lisätään tällaiset äärettömän kaukaiset pisteet, saadaan projektiivinen taso, ja vastaavasti kun kolmiulotteiseen avaruuteen lisätään tällaiset pisteet, saadaan kolmiulotteinen projektiivinen avaruus.
Projektiivisessa geometriassa merkityksellisiä ovat vain sellaiset ominaisuudet, jotka säilyvät projektiivisissa muunnoksissa. Esimerkiksi kulmilla ei projektiivisessa geometriassa ole merkitystä, koska ne eivät tällaisissa muunnoksissa säily, mikä perspektiivipiirustuksessa hyvin käy ilmi.
Ala sai alkunsa 1600-luvulla Girard Desarguesin tutkimuksista, mutta se jäi syrjään geometrisen tutkimuksen valtavirrasta 1800-luvun alkuun asti, jolloin Jean-Victor Poncelet julkaisi järjestelmällisen esityksen projektiivisesta geometriasta. Tämän jälkeen projektiivista geometriaa alettiin tutkia niin vilkkaasti, että siitä tuli aikakauden geometrian tärkein tutkimusalue. Tällöin kehitettiin myös kompleksisen projektiivisen avaruuden teoria, jossa koordinaatit ovat kompleksilukuja. Projektiiviseen geometriaan perustuivat myös monet muut samoihin aikoihin kehitetyt abstraktin matematiikan haarat kuten invarianttiteoria, italialainen algebrallisen geometrian koulukunta, Felix Kleinin Erlangenin ohjelma, joka johti klassisten Lien ryhmien teoriaan, sekä äärellinen geometria.
Projektiivinen geometria itsekin jakaantuu nykyisin moniin tutkimusaloihin, joista esimerkkeinä voidaan mainita projektiivinen algebrallinen geometria eli projektiivisten varistojen tutkimus sekä projektiivinen differentiaaligeometria eli projektiivisten muunnosten differentiaalisten invarianttien tutkimus.
Yleiskuvaus
Projektiivinen geometria on geometrian ei-metrinen muoto, mikä tarkoittaa, että se ei perustu etäisyyden käsitteeseen. Kahdessa ulottuvuudessa se alkaa opilla tietynlaisista pisteiden ja suorien muodostamista kuvioista. Kun Desargues ja muut kehittivät perspektiivioppia matemaattisesti selvittäessään projektiivisen geometrian, he osoittivat, että näinkin pienellä määrällä käsitteillä saatiin geometrisesti mielenkiintoisia tuloksia. Useampiulotteisissa avaruuksissa käsitellään hypertasoja, jotka aina kohtaavat, ja muita lineaarisia aliavaruuksia, joille on ominaista duaalisuusperiaate. Yksinkertaisimmassa muodossaan duaalisuus ilmenee projektiivisella tasolla, jossa lauseet "kaksi eri pistettä määrittävät yksikäsitteisesti suoran" (nimittäin molempien kautta kulkevan suoran) ja "kaksi eri suoraa määrittävät yksikäsitteisesti pisteen" (nimittäin niiden leikkauspisteen) osoittautuvat rakenteeltaan samanlaisiksi. Projektiivinen geometria voidaan myös käsittää opiksi sellaisista geometrisista konstruktioista, jotka voidaan suorittaa pelkän viivoittimen avulla. Koska harpin käyttöä ei sallita, eivät projektiiviseen geometriaan kuulu ympyrät, kulmat, etäisyyksien mittaus, suorien yhdensuuntaisuus eikä pisteen sijainti kahden muun pisteen välissä. Osoittautui, että teoreemat, jotka pätevät projektiivisessa geometriassa, ovat yksinkertaisia lauseita. Esimerkiksi kaikki erilaiset kartioleikkaukset ovat ekvivalentteja kompleksisessa projektiivisessa geometriassa, ja jotkut ympyröitä koskevat teoreemat voidaan käsittää näiden yleisten teoreemojen erikoistapauksiksi.
1800-luvun alussa muun muassa Jean-Victor Poncelet'n ja Lazare Carnot'n tutkimukset tekivät projektiivisesta geometriasta itsenäisen matematiikan haaran. Sen perusteita tarkensi Karl von Staudt, ja 1800-luvun lopulla italialaiset Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa ja Gino Fano kehittivät ne täydelliseen muotoon. Affiinisen ja euklidisen geometrian tavoin myös projektiivinen geometria voidaan muotoilla Felix Kleinin Erlangenin ohjelman avulla: projektiivista geometriaa luonnehtivat projektiivisen ryhmän muunnosten invariantit.
Projektiivisen geometrian perusteet tulivat ymmärretyiksi, kun alalta oli runsaan tutkimuksen avulla saatu johdetuksi erittäin monia teoreemoja. Perustavia invariantteja projektiivisessa geometriassa ovat insidenssistruktuuri ja kaksoissuhde. Projektiivista geometriaa voidaan mallintaa affiinisella tasolla (tai affiinisella avaruudella), johon lisätään "äärettömyydessä" oleva suora (tai hypertaso) ja käsittelmällä tätä suoraa (tai hypertasoa) "tavallisten" suorien (tai tasojen) tavoin. Homogeeniset koordinaatit tarjoavat algerallisen mallin, jolla projektiivista geometriaa voidaan tutkia analyyttisen geometrian tapaan. Toisaalta aksioomien tutkimus paljasti, että on olemassa ei-desarguesilaisia tasoja, jotka ovat esimerkkejä siitä, että kahdessa ulottuvuudessa insidenssiaksioomat voidaan muotoilla sellaistenkin struktuurien avulla, joita ei voida johtaa homogeenisesta koordinaattijärjestelmästä.
thumb|300px|right|Mittakaavan kasvu ja napapyörteet. Perustuu Lawrence Edwardsin tutkimuksiin. Projektiivinen geometria ja järjestetty geometria ovat perustavalla tavalla yksinkertaisimpia, sillä niissä on pienin määrä aksioomia, ja kumpaakin voidaan käyttää affiinin ja euklidisen geometrian perustana. projektiivinen geometria ei ole "järjestetty", ja näin ollen se muodostaa oman perustansa geometrialle.
Historia
Ensimmäiset luonteeltaan projektiiviset geometriset ominaisuudet löysi 200-luvulla Pappos Aleksandrialainen. Filippo Brunelleschi (1404–1472) aloitti perspektiivin geometrian tutkimisen vuonna 1425. Johannes Kepler (1571–1630) ja Girard Desargues (1591–1661) kehittivät toisistaan riippumatta keskeisen "äärettömyydessä olevan pisteen" käsitteen. Desargues kehitti perspektiivipiirustukseen vaihtoehtoisen menetelmän yleistämällä pakopisteiden käsittelyä siten, että ne voivat olla myös äärettömän kaukana. Hän teki euklidisesta geometriasta, jossa yhdensuuntaiset suorat todella ovat yhdensuuntaisia, erikoistapauksen kaikenkattavasta geometrisesta järjestelmästä. Desargues tutki myös kartioleikkauksia, ja hänen tällä alaltaan tekemiin tutkimuksiin kiinnitti huomiota 16-vuotias Blaise Pascal, joka niiden avulla onnistui muotoilemaan Pascalin lauseen. Gaspard Mongen tutkimukset 1700- ja 1800-lukujen vaihteessa olivat projektiivisen geometrian myöhemmän kehityksen kannalta tärkeitä. Desarguesin saavutuksia ei juuri tunnettu, ennen kuin Michel Chasles sai vuonna 1845 hankituksi hänen tutkielmistaan käsin tehdyn jäljennöksen. Sillä välin Jean-Victor Poncelet oli laatinut vuonna 1822 julkaistun projektiivisen geometrian perusteoksen. Poncelet erotti kohteiden projektiiviset ominaisuudet omaksi luokakseen ja selvitti, miten metriset ja projektiiviset ominaisuudet liittyivät toisiinsa. Kun vähän myöhemmin keksittiin epäeuklidiset geometriat, osoittautui, että nekin voitiin mallintaa projektiivisen geometrian avulla, esimerkiksi hyperboliselle avaruudelle voitiin muodostaa Kleinin malli.
Tämä 1800-luvun varhainen projektiivinen geometria oli tärkeä askel analyyttisestä geometriasta kohti algebrallista geometriaa. Homogeenisilla koordinaateilla käsiteltynä projektiivinen geometria näyttää koordinaattien käytön laajennukselta tai tekniseltä parannukselta, jolla geometriset probleemat voidaan palauttaa algebraan ja jossa erikoistapausten lukumäärää saadaan vähennetyksi. Toisen asteen pintojen yksityiskohtainen tutkimus ja Julius Plückerin "viivageometria" ovat esimerkkejä monista yleisempien geometristen käsitteiden tutkimuksesta.
Poncelet'n, Steinerin ja muiden suorittaman työn tarkoituksena ei ollut laajentaa analyyttista geometriaa. He olettivat käyttämiensä menetelmien olevan "synteettisiä"; itse asiassa projektiivinen avaruus sellaisena kuin se nykyisin käsitettiin kohdettiin aksiomaattisesti. Sen vuoksi projektiivisen geometrian varhaisten tulosten uudelleenmuotoilu siten, että ne vastaavat nykyisiä tarkkuuden vaatimuksia, voi olla jokseenkin vaikeaa. Jo projektiivisen tason tapauksessa aksiomaattinen lähestymistapa voi johtaa malleihin, joita ei voida esittää lineaarialgebran avulla.
Myöhemmin projektiivisen geometrian kehitykseen vaikuttivat huomattavasti muun muassa Clebschin, Riemannin ja Max Noetherin algebrallisia käyriä koskeneet tutkimukset sekä invarianttiteoria. Vuosisadan lopulla italialainen algebrallisen geometrian koulukunta, johon kuuluivat Federigo Enriques, Corrado Segre ja Francesco Severi, kehitti alaa edelleen niin, että tarvittiin syvällisempiä menetelmiä.
Aivan 1800-luvun lopulla projektiivisen geometrian yksityiskohtainen tutkimus alkoi jo hiipua, mutta alan kirjallisuus oli jo hyvin laaja. Varsinkin Schubert suoritti vielä merkittävää tutkimusta enumeratiivisen geometrian alalla, jonka nykyisin katsotaan ennakoineen Chernin luokkien teoriaa ja algebralliseen topologiaan kuuluvaa Grasmannin monistojen teoriaa.
Paul Dirac tutki projektiivista geometriaa ja käytti sitä kehittämiensä kvanttimekaanisten käsitteiden pohjana, joskin hän julkaisi tuloksensa aina algebrallisessa muodossa.
Tarkempi kuvaus Projektiivinen geometria on vähemmän rajoittavaa kuin euklidinen tai affiini geometria. Se on oleellisesti ei-metristä geometriaa, jonka tulokset eivät riipu mistään metrisestä struktuurista. Projektiivisissa muunnoksissa insidenssistruktuuri ja projektiivinen harmoninen konjugaatti säilyvät. Sen yksiulotteisena perustana on pisteiden muodostama projektiivinen jono. Projektiivisessa geometriassa yksi perspektiivin perusperiaatteista muotoillaan näin: yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa äärettömyydessä, ja sen vuoksi ne piirretään niin tietyllä tavalla. Oleellisesti projektiivinen geometria voidaan käsittää euklidisen geometrian laajennukseksi, jossa jokaista keskenään yhdensuuntaisten suorien luokkaa kohti on lisätty yksi ylimääräinen "piste" ja jossa tason suoria tällä tavoin vastaavien pisteiden muodostamaa "horisonttia" käsitellään "suorana". Täten yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa jossakin horisonttisuoran pisteessä.
Idealisoituja suuntia sanotaan äärettömyydessä oleviksi pisteiksi, kun taas eri tasoja vastaavia horisontteja sanotaan äärettömyydessä oleviksi suoriksi. Kaikki tällaiset suorat taas sijaitsevat äärettömyydessä olevalla tasolla. Äärettömyys on kuitenkin metrinen käsite, joten puhtaasti projektiivinen geometria ei sulje pois mitään pisteitä – äärettömyydessä olevia käsitellään samalla tavoin kuin muitakin pisteitä.
Koska euklidinen geometria sisältyy projektiiviseen geometriaan mutta projektiivisella geometrialla on yksinkertaisempi perusta, euklidisen geometrian yleisiin tuloksiin voidaan päästä läpinäkyvämmällä tavalla, kun taas eräitä euklidisessa geometriassa erillisiä mutta toisiaan muistuttavia teoreemoja voidaan projektiivisessa geometriassa käsitellä yhdessä. Esimerkiksi yhdensuuntaisia ja erisuuntaisia suoria ei tarvitse käsitellä eri tapauksina – valitaan vain sopiva projektiivinen taso ideaalitasoksi ja sijoitetaan se "äärettömyyteen" käyttämällä homogeenisia koordinaatteja.