right|pienoiskuva|Induktiotodistuksen periaatetta voi verrata kaatuviin dominopalikoihin.
Matemaattinen induktio on matemaattinen todistusmenetelmä, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.
Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua koskeva väite todeksi kaikilla luvun arvoilla. Teknisesti induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta:
Perusaskel Osoitetaan esimerkin kautta, että on tosi Induktioaskel Induktio-oletus: oletetaan, että on tosi arvolla Induktioväite: väitetään, että tosi arvolla Todistus: todistetaan, että induktio-oletuksesta seuraa induktioväite Johtopäätös Induktioaskeleessa todistettiin, että on tosi aina seuraavalla luvun arvolla. Koska on tosi, niin myös on tosi kaikilla luonnollisilla luvuilla .
Toisin kuin induktiivisessa päättelyssä, matemaattiseen induktioon ei sisälly Humen ongelmaa, sillä matemaattinen induktio on rekursioon perustuvaa todistamista eli pätevää deduktiivista päättelyä. Todistus perustuu rekursiorelaation avulla määriteltyyn äärettömän joukon säännönmukaisuuteen, joka todistuksessa yleistetään koko joukkoon, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoon. Matemaattinen induktio voidaan myös samaistaa täydellisen induktion kanssa, sillä siinä käydään rekursiivisesti kaikki mahdolliset yksittäistapaukset läpi.
Esimerkki Todistetaan oikeaksi kaava
Perusaskel: Näytetään, että pätee:
Induktioaskel: Induktio-oletus: on tosi. (Varmaksi tiedetään jo siis paikkansapitävyys.) Induktioväite: on tosi. Toisin sanoen
Induktio-oletuksen nojalla voidaan tehdä sijoitus , jolla yhtälön vasen puoli saadaan muotoon
Jos tämä voidaan esittää samassa muodossa kuin induktioväitteen oikea puoli, niin induktiotodistus on saatettu loppuun. Induktioväite on tosi, koska
Johtopäätös: Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla . Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun . Näiden kahden seurauksena kaava pitää paikkansa myös arvoilla
Katso myös Induktiivinen päättely (yksittäisestä tapauksesta yleiseen tapaukseen) Deduktiivinen päättely (yleisestä tapauksesta yksittäiseen tapaukseen)
Lähteet
Kirjallisuutta
Luokka:Algebra Luokka:Matemaattinen logiikka Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit