Funktionaalianalyysissä on useita variaatioita Rieszin esityslauseesta. Alkuperäisen tuloksen funktioavaruudessa todisti unkarilainen matemaatikko Frigyes Riesz vuonna 1909 artikkelissaan Sur les opérations fonctionnelles linéaires.
Yksinkertaisimmillaan Rieszin esityslause sanoo, että jokainen Hilbertin avaruus on oma duaalinsa: Tarkemmin sanottuna ne ovat isometrisesti isomorfiset. Lause voidaan yleistää myös Banachin avaruuksille.
Hilbertin avaruudessa Olkoon Hilbertin avaruus, sen (jatkuva) duaaliavaruus (ja skalaarikunta tai ).
Tällöin jokaista funktionaalia vastaa yksikäsitteinen , jolla pätee kaikilla . Vastaavasti kaikilla , kuvaus on jatkuva funktionaali.
Lineaaristen funktionaalien esityslause Cc(X):ssä Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja Cc(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.
Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos
μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;
Kaikilla Borel-joukoilla E,
Ehto
on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.
Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa Cc(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle
kaikilla Cc(X)-funktioilla f.
Viitteet
Aiheesta muualla Bachman, Narici: Functional analysis
Luokka:Funktionaalianalyysi