サムネイル|デミング回帰: 赤線は両方向への誤差を示す。典型的な最小二乗方では軸と平行な方向への誤差しか考えないことと対照的である。上図では誤差は垂直に測られており、との分散が等しい場合にあたる。 統計学において、デミング回帰（デミングかいき、）とは、W・エドワーズ・デミングにちなんで名付けられた2次元データセットへのを行うである。とはことなり、軸および軸両方の観測誤差を考慮するモデルで、の特殊ケースと考えることができる。

デミング回帰は2つの変数の誤差が独立で正規分布し、かつその分散の比が既知の場合の最尤推定である。実用上、この比は関連するデータソースから推定されることもあるが、デミング回帰の手続きにおいてこの比の誤差については考慮しない。

デミング回帰の難易度は単純線形回帰と比較してほとんど上がらない。臨床化学において用いられる統計ソフトウェアパッケージのほとんどはデミング回帰を行うことができる。

の場合のこのモデルはが導入した。任意のへの一般化はによりなされた。しかし、このアイデアは50年以上見過され、が再導入したのちによりさらに広められた。臨床化学および関連分野においてデミングの著書は特に有名となり、同分野ではこの手法はデミング回帰と呼ばれるようになった。

定義 回帰直線上の「真の」値の計測値が

のように互いに独立な誤差およびを持ち、分散の比

が既知であるものとする。

実用上、変数およびの分散は未知であることが多く、の推定は難しい。もしおよびの測定方法が同じであればそれらの分散は等しく、となる尤度が高い。

このとき、データ点に「もっともよくあてはまる」直線

を求めたい。

デミング回帰では、次の重みつき二乗残差が最小となる直線を求める。

完全な導出はを参照のこと。

解 この問題の解は2次標本モーメントにより表わすことができる。すなわち、まず次の統計量を計算する(和はについてとるものとする)。

すると、モデルパラメータの最小二乗推定値は以下のように計算できる。

直交回帰 誤差分散が等しい、すなわちの場合には、デミング回帰は直交回帰と一致する。直交回帰ではデータ点から回帰直線への直交距離の二乗和を最小化する。この場合、各データ点を複素平面上の点と表わし、データ点の幾何中心(すなわちデータ点の横軸および縦軸上の位置の平均を取った点)と各データ点との差の二乗和をと書くことにすると、

のとき、幾何中心を通るすべての直線が最適直交回帰直線である。 のとき、直交回帰直線は幾何中心を通り原点からへのベクトルに平行となる。

直交回帰の三角関数表現は1913年にCoolidgeが発表した。

応用 平面上に、共線でない3つの点があるとき、これらの点を頂点とする三角形は一意のシュタイナーの内接楕円をもち、この楕円は三角形の各辺にその中点で接する。この楕円の長軸は3つの点の直交回帰直線と一致する。2つのレポーターのふるまいの観測値をデミング回帰にかけることで細胞の内因 を定量化することも行われる。

人間が散布図に回帰直線を書くとき、その直線は通常の最小二乗回帰直線よりも直交回帰直線に近い。

ヨーク回帰 ヨーク回帰は、デミング回帰を拡張しておよびの誤差が互いに独立でなく相関を持つ場合を扱えるようにしたものである。

関連項目

出典

参照文献