混合体積

における混合体積（こんごうたいせき、）とは、におけるの組と関連付けられる非負数である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。

定義を上の凸体とする。次の関数を考える。

ここでは次元体積、内の加法はされたに関するである。は次斉次多項式であることが分かり、次のように書ける。

ただし、は対称関数である。に対して、係数をの混合体積という。

性質

混合体積は次の3つの性質で特徴付けられる。

は対称関数。は多重線型形式。すなわち、について . 混合体積は非負で、各変数において単調増加である。すなわち、ならばとの発見によれば、次の不等式が成立する（アレクサンドロフ-フェンヒェル不等式）。

内在的体積 Quermassintegral を凸体、を単位球とする。

はの次 quermassintegral （内在的体積）と呼ばれる。

混合体積の定義よりシュタイナーの公式 () と呼ばれる次の式が成立する。ヤコブ・シュタイナーの名を冠する。

Intrinsic volume の次 intrinsic volume（内在的体積）は quermassintegral と異なる正規化をしたものである。次の式で定義される。

すなわち、

ここで、は、次元単位球の体積である。

ハドヴィガーの定理

ハドヴィガーの定理は、内の凸体上の剛体運動の下で不変で、連続な任意のは内在的体積の線型結合で表すことができることを主張する。例の次元単位球の intrinsic volume は次の式を満たす。

次元の凸体の次 intrinsic volume に関する次の式はコーシー-窪田の公式と呼ばれる。

は次元単位球の次元体積、積分はの次元部分空間の上のハール確率測度で行われるもの、はへの直交射影とする。

出典

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