対数凸関数

数学において、関数が対数凸（たいすうとつ、）または超凸（）であるとはKingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.、と対数の合成関数自体が凸関数であることをいう。

定義を実ベクトル空間の凸集合とし、を非負の値をとる関数とする。このとき、が：対数凸であるとは、が凸であることをいう。狭義の対数凸であるとは、が狭義の凸であることをいう。ここで、はと解釈する。

明示的には、が対数凸であるための必要十分条件は、すべてのとすべてのに対して、以下の等価な2つの条件が成り立つことである：

同様に、が狭義の対数凸であるための必要十分条件は、上記の2つの式において、すべてのとすべてのに対して厳密な不等号が成り立つことである。

上記の定義ではがゼロになることを許容しているが、が対数凸であり、かつ内のどこかで値がゼロになるならば、の内部のいたるところで値はゼロになる。

等価な条件が区間上で定義された微分可能な関数であるとき、が対数凸であるための必要十分条件は、内のすべてのおよびに対して次の条件が成り立つことである：

これは、かつであるときは常に、次の条件が成り立つことと同値である：

さらに、これらの不等式が常に厳密であれば、は狭義の対数凸である。

が2回微分可能である場合、対数凸であるための必要十分条件は、内のすべてのに対して次が成り立つことである：

この不等式が常に厳密であれば、は狭義の対数凸である。しかしその逆は偽であり、が狭義の対数凸であっても、あるに対してとなることがあり得る。例えばの場合、は狭義の対数凸であるが、となる。

さらに、が対数凸であるための必要十分条件は、すべてのに対してが凸であることである..。

十分条件

が対数凸であり、が非負の実数であるならば、も対数凸である。が対数凸関数の任意の族であるならば、は対数凸である。が凸であり、が対数凸かつ単調非減少であれば、は対数凸である。

性質対数凸関数は凸関数である。なぜなら、単調増加な凸関数であると、定義より凸関数であるとの合成関数だからである。しかし、対数凸であることは、単に凸であることよりも厳密に強い性質である。例えば、二次関数は凸であるが、その対数は凸ではない。したがって、二次関数は対数凸ではない。

例は、のとき対数凸であり、のとき狭義の対数凸である。は、すべてのに対して、上で狭義の対数凸である。オイラーのガンマ関数は、正の実数に制限したとき狭義の対数凸である。事実、ボーア・モレルップの定理によれば、この性質を用いて、階乗関数の実数への拡張の中からオイラーのガンマ関数を特徴づけることができる。

対数凸関数

Źródło i licencja