古典命題論理において、実質含意（じっしつがんい、）とは、条件文を、前件が否定された選言へと置き換えることを許す、妥当な置換規則である。この規則は、「P は Q を含意する」が「 でない、または 」と論理的に同値であり、論理的証明においていずれの形式も他方を置き換えうる、と述べる。言い換えれば、もし が真であれば もまた真でなければならず、他方 が真でならば も真ではありえない。加えて、 が真でないとき、 は真であっても偽であってもよい。
ここで「」は「証明においてこれと置き換えられる」を表すメタ論理的記号であり、P と Q は任意の与えられた論理的言明であり、 は「（P でない）または Q」と読める。これを例示するために、次の言明を考えよう。 : サムは昼食にオレンジを食べた。 : サムは昼食に果物を食べた。
このとき、「サムは昼食にオレンジを食べた」は「サムは昼食に果物を食べた」を（）と言える。論理的には、もしサムが昼食に果物を食べなかったならば、サムは昼食にオレンジも食べられなかったことになる（対偶による）。しかし、サムが昼食にオレンジを食べなかったと言うだけでは、サムが昼食に（いかなる種類であれ）果物を食べたか否かについての情報は得られない。
証明 が与えられたとする。すると排中律により が成り立つ（すなわち、 が真であるか、 が真でないかのいずれかである）。
続いて、 であるから、この言明において を で置き換えることができ、したがって が帰結する（すなわち、 が真であるか、 が真でないかのいずれかである）。
逆に、 が与えられたとする。すると、もし が真であれば、それは第一の選言肢を排除するので、 が得られる。要するに である。
これは真理値表でも表現できる。 P Q ¬P P → Q ¬P ∨ Q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T
例 一例を挙げる。「もしそれが熊であるならば、それは泳ぐことができる」という条件的事実が与えられたとする。すると、真理値表の4通りの可能性すべてが、この事実と比較される。 もしそれが熊であるならば、それは泳ぐことができる — T もしそれが熊であるならば、それは泳ぐことができない — F もしそれが熊でないならば、それは泳ぐことができる — T（最初の事実と矛盾しないため） もしそれが熊でないならば、それは泳ぐことができない — T（上と同様）
したがって、この条件的事実は 、すなわち「それは熊でない」または「それは泳ぐことができる」へと変換できる。ここで は「それは熊である」という言明であり、 は「それは泳ぐことができる」という言明である。
この同値は直観主義論理では成り立たない
直観主義論理は を と同値なものとして扱わない。なぜなら、
が与えられれば、 の証明を の証明へと構成的に変換できる。とりわけ、 は直観主義論理において成り立つ。もし が成り立つならば、 が導出できることになる。しかし、後者は排中律であり、直観主義論理はこれを認めない（どちらの場合が当てはまるかを知らずに を仮定することはできない）。
出典