スブラマニヤムの定理

スブラマニヤムの定理（スブラマニヤムのていり、）とは、距離空間における完備性と、カナン写像（Kannan mapping）に対する不動点の存在性との同値性を主張する、不動点定理の逆に関する数学の定理である。

バナッハの不動点定理（縮小写像の原理）は「完備距離空間上の任意の縮小写像は唯一の不動点を持つ」ことを主張するが、一般にその逆（すべての縮小写像が不動点を持てば空間は完備か）は必ずしも成立しない。1975年にインドの数学者P・V・スブラマニヤム（P. V. Subrahmanyam）は、バナッハの縮小条件を緩めた「カナン写像」を用いることで、不動点定理の完全な逆（不動点存在性と距離空間の完備性の同値性）が成り立つことを証明したSubrahmanyam, P. V. (1975). "Completeness and fixed-points". Monatshefte für Mathematik, 80(4), pp. 325–330. 。

定義 カナン写像 距離空間 上の自己写像 が、ある定数 を満たし、任意の実数 に対して次の条件を満たすとき、 をカナン写像（）またはカナン型縮小写像と呼ぶKannan, R. (1968). "Some results on fixed points". The American Mathematical Monthly, 75(1), pp. 71–73.。

カナン写像は、連続写像であるとは限らないという点でバナッハの縮小写像とは異なっている。

定理の主張 距離空間 について、以下の2つの条件は同値である。

1. は完備である。

2. の任意の閉部分集合 上で定義された任意のカナン写像 は、少なくとも1つの不動点（すなわち となる ）を持つ。

歴史と背景 1968年、R・カナン（）は、連続性を仮定しない新たな不動点定理としてカナンの不動点定理を発表した。これは「完備距離空間上の任意のカナン写像は唯一の不動点を持つ」というものである。

バナッハの不動点定理に対しては、1959年にによって「任意の集合上のすべての自己写像が不動点を持つような抽象的構造」に関する研究（Bessagaの逆定理）がなされたが、距離空間の完備性そのものを直接的に特徴付けるものではなかった。

スブラマニヤムは1975年の論文において、カナン写像の性質を利用することで、空間上のすべての部分閉集合上でカナン写像が不動点を持つことと、元々の距離空間が完備であることが同値となることを示し、不動点理論における完備性の完全な幾何学的・位相的特徴付けを与えた。

脚注

参考文献

関連項目 不動点定理 バナッハの不動点定理 完備距離空間