ラプラス変換（ラプラスへんかん、）とは、積分で定義される変換で、正の実数に対して定義された関数に、複素数に対して定義された正則関数を対応させる。
ラプラス変換の著しい特徴の一つはラプラス変換により微分が「倍して定数を引く」という単純な演算に化ける事である。この性質によりラプラス変換は常微分方程式の解を求める行為を代数方程式の解を求めるというより簡単な行為に置き換える。このため制御理論、信号処理、電気回路など、常微分方程式を基礎とする様々な応用分野で利用される。
フーリエ変換も同様の性質を満たすが、ラプラス変換の場合は逆変換を留数定理で効率的に求められる事、常微分方程式の解として頻出する指数関数が扱える事が利点である。一方、ラプラス変換はフーリエと違い積の変換を容易には計算できないという欠点を持ち、これが原因でラプラス変換を適用できる常微分方程式の種類が限定的になる。また「波」という解釈が明確なフーリエ変換と違い、ラプラス変換は直観的な意味付けがしづらい。
ラプラス変換の名は18世紀の数学者ピエール＝シモン・ラプラスにちなむ。
概要
定義 を非負の実数全体の集合とし、を複素数全体の集合とするとき、十分性質の良い関数の（片側）ラプラス変換とはラプラス積分
により定義される変換の事である（→#厳密な定義）。が非負の実数なのに対し、は複素数である。
なお、「片側」ラプラス変換という名称は積分区間をからまでにした両側ラプラス変換と区別するための名称である。両側ラプラス変換はその数学的取り扱いに困難な面がある為（→#両側ラプラス変換）、実用上は主に片側ラプラス変換が用いられる。
ラプラス積分の中身のの部分はの実部が大きいほど収束が早い事から、ラプラス積分はの実部がある値より大きければ収束し、小さければ収束しない。このようなをの（条件）収束座標という。絶対収束に関しても同様の値が存在し、この値を絶対収束座標という（→収束性）。は実部が収束座標より大きいに対して正則である。
逆ラプラス変換 ラプラス変換は「単射」であり、からを再現できる（Lerchの定理）。そこでの左逆変換をと書き、逆ラプラス変換という。逆ラプラス変換は下記のブロムウィッチ積分で求まる（→#逆ラプラス変換）：
ここではの絶対収束座標より大きい任意の実数である。
の性質が十分よければ、ブロムウィッチ積分は留数定理を使うことにより効率的に求まる（→#留数定理による計算）。
基本性質と常微分方程式への応用 ラプラス変換が応用上重要となる大きな理由は、微分がラプラス変換により単なる「倍して定数を引く」という操作になるためである（→#微分と積分）：
上記の性質は、常微分方程式を解く際に有効に働く（→#線形常微分方程式への応用）。たとえば
という微分方程式はのラプラス変換を考えると、前述の性質と線形性から
という代数方程式に変換されるので、これを解いて
を得る。最後に逆ラプラス変換を使ってを求めれば前述の微分方程式の解が求まる事になる。この逆ラプラス変換は前述のように留数定理により効率的に計算できる。
ただしラプラス変換には積のラプラス変換をとから簡単に計算する方法がないという弱点があり、これが原因でラプラス変換によって解を求める事ができる微分方程式の種類が限られる。例えば「」のような非線形な項が登場する微分方程式にはラプラス変換は適用しづらいし、線形な微分方程式であっても「」のように係数が定数ではない微分方程式にもラプラス変換は適用しづらい。
フーリエ変換との関係 ラプラス変換する関数はでのみ定義されているが、ではと形式的に定義すれば、そのような関数に対してラプラス変換はフーリエ変換
と
という関係を満たす。特にの場合を考えると、ラプラス変換の虚軸部分がフーリエ変換であるという事になる。（ただしこれら２つの変換では扱える関数のクラスに差があるため、虚軸上でラプラス積分が収束するとは限らない。収束性の節を参照）。
この意味でラプラス変換は虚軸のみで定義されていたフーリエ変換を解析接続により複素平面のより広い領域に拡張したのがラプラス変換であると言える。この拡張により、前述の逆ラプラス変換が留数定理を使って求められるようになった事がラプラス変換の利点の一つである。
またで定義された関数に限定すればフーリエ変換よりも広範な関数を対象にできる事も利点で、ラプラス変換の場合はにが乗じられている為、が指数関数的に発散している場合であってもラプラス変換できる。フーリエ変換も超関数の範囲まで認めれば緩増加なものも変換できるが、常微分方程式の解には指数関数が登場する事が多いので、ラプラス変換が必要となる。
一方、フーリエ変換は積に対してのように畳み込み「」で書けるのに対し、積のラプラス変換をとから簡単に計算する事はできない。これが原因で前節で述べたように常微分方程式への応用する際、ラプラス変換を適用可能な微分方程式の種類がかなり限定される。また「波」という解釈が明確なフーリエ変換と違い、ラプラス変換は直観的な意味付けがしづらい。
ラプラス変換はフーリエ変換以外にもメリン変換、Z変換、と関係がある。ラプラス変換はメリン変換とは相互に簡単に行き来でき、Z変換はラプラス変換の「離散版」に相当し、スチルチェス積分はラプラス変換を二重にかけたものと一致する（→#他の変換との関係）。
一般化 上記では一変数の関数に対するラプラス変換を定義したが、多変数の関数に対するラプラス変換や測度に対するラプラス変換も定義可能であり（→#一般化）、シュワルツ超関数に対するラプラス変換も定義可能である（→#シュワルツ超関数のラプラス変換）。
測度に対するラプラス変換は確率論に応用を持ち、超関数に対するラプラス変換も、特にデルタ超関数に対するラプラス変換は、信号処理や制御理論におけるインパルス応答の解析に用いられるなど、様々な分野で応用される。
厳密な定義と収束性
を非負の実数全体の集合とし、を複素数全体の集合とする。「片側」ラプラス変換という名称は積分区間がからの両側ラプラス変換に対するものである。
上記の定義について２つ留意点を述べる。第一に、の変数が非負の実数であるのに対し、の変数は複素数である事に注意されたい。第二に、一般にはラプラス積分の中身であるは積分可能であるとは限らず、したがって上記の定義のように積分可能となるでのみラプラス変換を考える必要がある。「ラプラス積分」という言葉と「ラプラス変換」という言葉の使い分けもこれに準じたもので、のラプラス変換はラプラス積分が収束するときのみ存在するものとみなされる。
に課した局所可積分という条件は、広義積分が意味を持つための条件である：
用語と記法 をラプラス変換の原関数（）といい、をラプラス変換の像関数（）という。また 、 のように原関数を小文字、、で書き、これらの像関数を対応する大文字で、、と表す習慣であるが、これに従っていない書籍もある。
の定義域を-領域、の定義域を-領域という。フーリエ変換の用語を借用し、これらをそれぞれ時間領域、周波数領域と呼ぶ事もある。-領域の事をラプラス領域とも呼ぶ。また変数の事をラプラス変数と呼ぶ事もある。
のラプラス変換はダミーの変数を用いてと書く場合もあり、この表記を使うと
のように複雑な関数のラプラス変換を記述できる。
なお、ラプラス変換の表記は書籍によって一貫しておらず、の他に、、といった表記が採用される事もある。また変数の代わりにフーリエ変換と同様が用いられる事もある。
の領域 これまでの議論でははでのみで定義され、ラプラス変換もにおける積分として定義していた。しかしにおいても形式的に
for
と定義してラプラス変換もにおける積分とみなしたほうが便利なケースも多い。
このため単に例えばと書くとでにならないため、ヘヴィサイド関数（単位ステップ関数（）とも）
を用いて、
といった表記を用いる事がある。本稿でも必要に応じてこの表記を採用する。
収束性
収束座標 を局所可積分な関数とするとき、（）の形からラプラス積分はの実部が大きいほど早く収束するので、 となるについて（）の積分が収束すれば より実部が大きい値でも（）の積分は収束する。そこでこのようなの下限を取る事で以下の性質を示せる：
上記の定理において、の場合はがの全点で収束する事を意味し、の場合はがのいかなる点においても収束しない事を意味するものとする。収束座標がでないとき、すなわちラプラス積分が収束する点が1つ以上存在するとき、はラプラス変換可能（）であるという。
なお、となるに関してはにより収束する事もあり得るし、収束しない事もあり得る。
上記の定理の「条件収束」を「絶対収束」に変えても同様の定理を示す事ができる。すなわち、あるが存在し、（）の積分は絶対収束し、（）の積分は絶対収束しない。 をの絶対収束座標（） といい、実部がより大きいの集合を（resp. 絶対収束領域（）という。
なお、本稿では単に「収束座標」と呼んだとき条件収束座標を指す事としているが、文献によっては絶対収束座標の事を収束座標と呼んでいるものもあるので注意されたい。
数学的性質の良さから本稿では主に絶対収束座標について扱うが、本稿で扱う定理の多くは条件収束座標でも成立し、では広義リーマン積分に対する「条件収束版」の定理を見る事ができる。
以下特に断りがない限り、本稿に登場する関数はの絶対収束座標がではない事を仮定し、はの絶対収束領域の元であるものとする。またのように複数の関数が登場している場合、は、双方の絶対収束領域に属しているものを考える。
明らかに次が成立する：
（広義でなく通常の）ルベーグ積分においては可測関数が絶対収束する事と条件収束する事は同値であるので、通常のルベーグ積分の範囲で考えている場合は条件収束座標と絶対収束座標は一致する。しかし本稿のように広義積分を考えている場合は、両者は一致するとは限らない。
絶対収束座標の評価 絶対収束座標の値は以下の指数オーダーの概念を用いて上から見積もる事ができる。
より一般にとほとんど至る所等しい関数が指数オーダーであっても上と同様の事が言える。 ここでとがほとんど至る所等しいとは、となるの集合のルベーグ測度（直観的には長さ）がである事を言う。
上では指数オーダーの概念を使って絶対収束座標を評価したが極限値を用いて評価する事もできる：
一様収束性 すでに述べたように本稿では（）における積分として広義積分を考えているが、この広義積分の一様収束性に関して以下の事実が成立する事が知られている：
ここでは原点からへのベクトルが実軸となす角度を表す。
上記の定理より特にラプラス積分は収束領域において局所一様収束している事がわかる。
正則性 次が成立する：
前述のようにラプラス変換の値は、収束領域に属するに対してのみ定義できるが、上述の定理よりは正則なので、解析接続により収束領域に属さないに対してもを定義できる。ただし一般には解析接続の仕方により多価性の問題が生じ、分岐被覆を考える必要がある。
また後で逆ラプラス変換を（多価性の問題が生じない場合に）留数定理を用いて求めるが、留数定理を用いる事ができるのも上述の定理によりの正則性が保証されているからである。
基本的な性質 本節ではラプラス変換の性質を述べる。ただし性質の一覧は後の章にまわし、ここでは基本的なものをいくつか紹介するに留める。
本節では、ラプラス変換により微分と積分がそれぞれ「倍して定数を足す」、「で割る」という単純な演算に化ける事を見る。後の章で見るようにこれらの性質はラプラス変換を使って常微分方程式を解く際に用いられる。
上記の定理の仮定に関して３つ注意点を述べる。第一に、上ではとなるに対して定理を示したが、実際にはを満たすに対しても上記の定理が成立する事が一致の定理から従う。第二に、上では級である事を仮定したが、が連続かつ区分的に級な関数であっても（）が成立する。第三に、上ではが指数オーダーである事を仮定したが、この仮定は必須ではなく、後述する超関数に対するラプラス変換を使えばこの仮定なしでも類似の定理を証明できる。
上記の定理に対して数学的帰納法を用いることで以下も示す事ができる：
一方積分のラプラス変換については以下が成立する：
初期値定理と最終値定理 本節ではラプラス変換の極限値を用いる事により、のにおける極限値を求める定理（初期値定理）やにおける極限値を求める定理（最終値定理）を紹介する。
制御工学や電気工学といった工学の分野ではが時刻における系の状態を表す場合にラプラス変換が用いられるが、におけるの安定性をそのラプラス変換を使って評価する目的で最終値定理は用いられる。
以下、をを満たす局所可積分とする。
ここで記号「」はを保ったままをに近づける事を指す。
上ではを保っている場合にのみ初期値定理・最終値定理を示したが、この条件は緩和できる事が知られている： 初期値定理 前述の定理と同じ条件下、が成立する。 が級であり、しかも、がいずれも指数オーダーであれば、が成立する。 最終値定理 前述の定理の条件を満たし、が級であり、さらにが任意のに対して成立するようなが存在すれば、が成立する。
ワトソンの補題 初期値定理はの原点での値とのでの値の関係を与えるのみだが、以下のワトソンの補題を使えば、の原点での漸近的振る舞いとのでの漸近的振る舞いの関係を知る事ができる。
性質一覧表 表中の凡例 : ヘヴィサイド関数 : の階微分 : の階微分
+ 片側ラプラス変換の性質（その 1）性質原関数像関数備考線形性 相似性 のときシフト原関数 のときのとき像関数は任意の複素数像関数の 積「」は畳み込み積微分原関数 階微分
が級なとき。
超関数微分の場合は公式が異なるので注意。 階微分
が級なとき。
超関数微分の場合は公式が異なるので注意。像関数 階微分が級のとき 階微分 が級のとき 原関数の 積分周期関数
はの周期
変換表 変換表 原関数 像関数 収束域出典備考 デルタ超関数 乗（ は複素数） が整数なら のときはヘヴィサイド関数 のときはランプ関数 乗の指数減衰 なら指数関数 正弦関数 余弦関数 双曲線正弦関数 双曲線余弦関数 正弦波の指数減衰 余弦波の指数減衰 自然対数 はオイラー・マスケローニ定数. 第 1 種ベッセル関数 第 1 種変形ベッセル関数 第 2 種ベッセル関数 （次数が の場合） 第 2 種変形ベッセル関数 （次数が の場合） 誤差関数 凡例
：ヘビィサイド関数。 ：デルタ超関数。 ：ガンマ関数。 が自然数の場合、。
は時間に対応する実数。 は複素数で複素角周波数と呼ばれる。 はその実部。 は実数。 は整数。
定義 ラプラス変換の積分範囲をからまでに変える事で定義できる変換
を両側ラプラス変換（、）という。上では通常のルベーグ積分を用いて定義された両側ラプラス変換を述べたが、より一般に広義ルベーグ積分を用いて定義することも可能で、この場合は２つの広義ルベーグ積分
、 が収束するとき、この２つの和をもって両側ラプラス変換を定義する。
片側ラプラスとの関係 に対し、以下の関係が明らかに成立する： where また、に対し、 、 とすると明らかに
が成立する。
上式から明らかに、両側ラプラス変換の収束領域はのように両側から挟まれる形になる。これが原因で、がいずれも空でない収束領域を持っても、これらの収束領域が重なっていないとの収束領域が空集合であり、したがってが両側ラプラス可積分でないといった事も起こりうるため、収束に関して慎重な取り扱いが求められる。
フーリエ変換 （一次元の）フーリエ変換
は両側ラプラス変換と
という関係を満たす。特にがでになる関数であれば、上式の左辺は片側ラプラス変換と置き換えられる。
上式から特に、（が虚軸上で収束する場合には）虚軸では
という関係性を満たす。逆に言えば虚軸のみで定義されているフーリエ変換を解析接続により一般の複素数へと定義域を広げたものが両側ラプラス変換であり、両側ラプラス変換の対象をのときになる関数に制限したものが（片側）ラプラス変換であると言える。
実数を定義域に持つフーリエ変換した関数と違い、複素数を定義域に持つには留数定理を用いる事ができ、それゆえ後述するラプラス逆変換を容易に計算できる事がラプラス変換の利点である。
メリン変換 関数のメリン変換
においてと変数変換する事で、メリン変換は両側ラプラス変換と
という関係がある事がわかる。
Z変換とディリクレ級数 数列の片側Z変換
において、と変換して和を積分に変えたものが片側ラプラス変換である。片側Z変換の和をがからに変えた両側Z変換と呼ぶが、これは同様にして両側ラプラス変換と関係する。
片側Z変換は解析数論におけるディリクレ級数と（和の開始位置の規約以外は）同一のものであるが、これをと変換した上で一般化したものが一般ディリクレ級数
である。片側ラプラス変換は一般ディリクレ級数でである場合に和を積分に変えたものに対応する。
スチルチェス変換 関数の
はラプラス変換と
という関係を満たす。実際、
が成立する。
逆ラプラス変換 本節ではラプラス変換の像関数から原関数を求める方法について述べる。そのためにまず、ラプラス変換が単射である事を見る：
ここで２つの関数、がほとんど至る所等しいとは、となるの集合が零集合である事を言い、ある集合が零集合であるとはそのルベーグ測度（直観的には長さ）がである事を言う。測度論ではほとんど至る所等しい関数を同一視するので、上記の定理はラプラス変換が単射である事を意味する。
ラプラス変換の単射性により、
がほとんど至る所成立するような（すなわちラプラス変換の左逆変換）が定義できる。を逆ラプラス変換（）という。なお、逆ラプラス変換は上述のように一般にはを完全に復元はできず、ほとんど至る所復元できるだけである事に注意されたい。
ブロムウィッチ積分 の性質が良ければ、逆ラプラス変換を積分を使って具体的に書き下す事ができる：
()の右辺のは集合におけるルベーグ積分を表す。 （）の右辺の積分はブロムウィッチ積分（）、フーリエ・メリン積分（）等と呼ばれる。
ただしメリンやブロムウィッチ以前にリーマンが1859年にゼータ関数の論文で今日で言うメリン変換の逆公式に相当するものを得ており、ポアンカレも1887年の論文で現代のと同じ形の逆公式でラプラス変換を反転させている。
連続点以外でもほとんど至る所（）が成立する：
証明はフーリエ変換の逆公式に帰着される。
上記の定理はラプラス変換の逆公式（）、メリンの逆公式（）と呼ばれる。
ラプラス変換の逆公式にはいくつかのバージョンがあるが、下記のバージョンは上記のものと違い、不連続点における値をも特定可能である。以下、、とする。ただしのときは形式的にと定義するものとする。
上述の定理では前述の定理と違い、ブロムウィッチ積分が広義ルベーグ積分（コーシー主値）によって定義されている事に注意されたい。
「近傍で有界変動」の条件を満たす例として以下のものがある：
に対するブロムウィッチ積分 これまでラプラス変換の逆変換に関する考察をしてきたため、を仮定してきたが、でもブロムウィッチ積分は収束し、その値はである。
前述したようにラプラス変換はのみで定義された関数をの範囲で積分しているとみなすよりも、ではになる関数をの範囲で積分していると見なす方が自然であるが、その事が上記の定理でも現れている。
留数定理によるブロムウィッチ積分の計算 前節までの議論から、逆ラプラス変換はブロムウィッチ積分
サムネイル|：積分経路。「×」はの極。 を具体的に計算する事で求められる。本節では、が有限個の極を除いて全域に解析接続できるとき、留数定理によりブロムウィッチ積分を計算する方法を説明する。
このために実数を固定し、図R1のような半月形の経路によるの周回積分を考える：
からへと直線的に進む からへ（反時計回りで）半円を描いて帰る。
上記の2の部分の経路をとする。を十分大きく取れば、積分経路が囲う領域内に全ての極が入る。上記の1の部分の積分はブロムウィッチ積分に収束するので、留数定理より以下が成立する事がわかる：
ここではをに関する関数と見たときのにおける留数（＝をでローラン展開したときの次の項の係数）である。はヘヴィサイド関数であり、をつける理由は前述のようにでがになる事を強調する為である。
残念ながら、上記の定理の仮定である()は常に成り立つわけではないが、以下のような十分条件が知られている：
具体的な形 の留数を具体的に求める事で、()は以下のようにも書ける： 上記の定理から明らかに以下の系が従う。古典制御理論ではシステムの安定性を判別する手法として上記の系を用いる。が有理式の場合に上記の系の条件を満たす事の判別法としてラウス・フルビッツの安定判別法が知られている。
が有理式の場合 本節ではが有理式の場合、すなわち２つの多項式、を用いて
と書ける場合に()に登場する係数は部分分数分解を使って具体的に書き下す事ができる：
上記の定理で分子のほうが分母よりも次数が低い事を仮定したが、この仮定が成り立たない場合はを像関数に持つ原関数は存在しない事が知られている。しかしを通常の関数だけでなくデルタ超関数をも使って記述する事を許せば存在する：
ここではデルタ超関数の回微分である。超関数に対するラプラス変換の詳細は後の章で述べる。
が重根を持たない場合、より簡単に書き表わす事ができる。以下ではの微分である。
ヘヴィサイドの展開定理はが有理型関数の場合にも一般化できる。すなわち共通の零点を持たない2つの整関数、により有理型関数がと書けており、の零点が全て1位であり、の（有限個または可算個の）零点をとするとき、()が成立する。
分岐点を持つ場合 サムネイル|：原点にある特異点で分岐被覆が起こっている場合の積分経路。 最後にの複素平面への解析接続が分岐点を持つ場合について述べる。この場合留数定理にもとづいた()は成立せず、修正が必要になる。
図R2は原点のみが分岐点になっている場合を想定した積分経路である。この場合、図R1と違い、分岐点を避けるように積分経路を選んでいる。
原点の周りの小さな円弧に関する積分は半径をとする事でに収束するが、それに対し、分岐が赤線の部分で起こっている（ように分枝を選ぶ）ので、赤線の上下で関数の値が異なっており、したがって赤線の上下の経路に沿った積分はキャンセルされない。
よってこの場合()はとする事で、 (赤線に沿った2つの分枝の積分の差) となる。
応用
本節では定数係数で線形な常微分方程式による初期値問題の解を求める事にラプラス変換を応用する。
本章では、ラプラス積分の収束可能性に関する細かい条件にはこだわらないものとする。したがって本章の議論は厳密なものではないが、常微分方程式では（方程式の性質がよければ）解の一意性が保証されているので、本章の手法で求まった解が方程式を満たす事さえ確認すれば、それが方程式の唯一の解である事が保証される。
方程式 簡単のため未知の関数の数が1つの場合を扱うが、一般の場合も同様である。未知の関数の数が1つである定数係数の線形常微分方程式による初期値問題は定数、既知の関数、および未知の関数を用いて
という形に書ける。なお本節では微分のみを含むケースを考えたが、積分
をも含む場合にも容易に拡張できる。
解法 、とすると、の性質が十分よければのラプラス変換は高階微分のラプラス変換の公式から
と書けたので、()の両辺をラプラス変換したものは、に関する何らかの多項式、を用いて
という形に表記できる。これを について解いて逆ラプラス変換する事により、求める解は
である事がわかる。ここではを満たす任意の実数である。ブロムウィッチ積分の具体的計算方法は留数定理の節を参照されたい。
、は具体的には以下のように書ける：
は()のをに置き換えたものであるので、は微分方程式()の特性多項式である。を利用すると前述した方法で解の安定性を判定できるので、の事を安定多項式とも呼ぶ。
または()の分母に登場するので、古典制御理論ではを分母多項式（）と呼び、やはり前述の方法で解の安定性を判定する目的で用いている。
未知の関数が複数の場合 未知の関数が複数の場合、微分方程式は定数行列、定数ベクトル、既知の関数のベクトル、および未知の関数を用いてと書けるので、成分毎に考えれば未知関数が1つの場合と同様の議論により、の成分ごとのラプラス変換は、多項式を係数とする行列、ベクトルを使って
という形に書ける事がわかる。よって解は
となる。ここで積分記号は成分毎の積分を表す。
伝達関数法
古典制御理論、電気回路、信号処理といった分野で用いられるLTIシステム（Linear Time-Invariant system、線形時不変システム）では、()の既知関数をなんらかの装置に対する入力、未知関数をそれに対する応答とみなし、微分方程式()が入力と応答の関係を表しているとみなす。伝達関数法は、こうしたケースにおいて入力と応答の関係を記述するのを容易にするための手段である。 サムネイル|：をに変換する伝達関数を表したブロック線図
伝達関数法では、初期状態では入力がなく、したがってとその微分の初期値であるが全ての場合を考える。この場合、、のラプラス変換、は前節で述べたを用いて where ...() という関係を満たす。このような応答のラプラス変換と入力のラプラス変換の比をこの装置の伝達関数（）という。数学的には()の左辺を線形な微分演算子とみなして ...() サムネイル|：負のフィードバックループを含むシステムのブロック線図。図の「」「」はそれぞれ合流、分岐を表し、「」、「」はに入力するとき、をそれぞれ加算、減算する事を表す。 と書いたとき、とその微分の初期値がであるという条件下これをについて解いたをラプラス変換したときに登場するのが伝達関数である。
は明らかに線形であり、しかも時刻に依存しない。このようなで記述されるシステムをLTIシステムといい、伝達関数はLTIシステムを解析するために用いられる。
伝達関数は図E1に記したようなブロック線図で記述される。ブロック線図を用いると、システムの装置構成から微分方程式を経る事なく直接入力と応答の関係を立式できる。例えば図E2の装置の場合、ブロック線図から
である事が読み取れるので、これを解いて
となるので、上式を逆ラプラス変換する事で応答が求まる。
伝達関数の数学的背景 伝達関数は常微分方程式を定義する微分演算子の基本解をラプラス変換したものに相当する。ここで()の微分演算子の基本解とは、システムへの入力がデルタ関数の場合である
を（とその微分の初期値がであるという条件下で）解いたときの解の事である。工学的には基本解はシステムにインパルス信号を入力したときのシステムの応答（インパルス応答）が基本解である。
（十分性質の良い）任意の関数はデルタ関数を使った重ね合わせとして ...() と書けるので（ここで「」は畳み込みであり、ではとしている）、()の（上記と同じくとその微分の初期値がであるという条件下の）解は、()の重ね合わせを使って
のように求める事ができる。
畳み込みに対するラプラス変換の公式より、
であるので、上式を伝達関数の定義式()と見比べる事で、伝達関数は
のようにの基本解のラプラス変換である事がわかる。
分数階微積分
の階積分 ...() は積分のラプラス変換の公式からを満たすので、
が成立する。そこで整数とは限らないに対し、階積分を以下のように定義する：
このように自然数ではないに対し階積分を定義する手法がいくつか知られているが、こうした積分を分数階積分という。
自然数に対し、階微分をと書く事にする。自然数階の微分と分数階積分を使う事により、分数階微分を以下のように定義する。
ここでは天井関数である。