ハイネ・ボレルの被覆定理

ハイネ・ボレルの被覆定理（ハイネ・ボレルのひふくていり、）とは、位相空間論および実解析における基本的な定理の一つである。

主張と一般化 ユークリッド空間 （特に直線 ）の部分集合 に対し、以下の条件は互いに同値である：

は有界かつ閉集合である。 はコンパクトである（すなわち、 の任意の開被覆は有限部分被覆をもつ）。 内の任意の点列は、 内の点に収束する部分列をもつ（点列コンパクト性）。

一般の距離空間においては、「有界閉集合」であることと「コンパクト」であることは必ずしも同値ではない（無限次元バナッハ空間の単位球などが反例となる）。距離空間における一般的な定理の形は次のようになる：

距離空間の部分集合がコンパクトであることと、完備かつ全有界であることは同値である。

証明の概要 実数直線上の有界閉区間 がコンパクトであること（すなわち任意の開被覆が有限部分被覆をもつこと）の証明には、実数の連続性公理が本質的に用いられる。代表的な証明手法として以下のようなものがある。

二分法と区間縮小法による証明（背理法）: 区間 の開被覆 が有限部分被覆をもたないと仮定する。 を2つの等分区間に分割すると、少なくとも一方の小区間は の有限個の元で覆うことができない。この操作を繰り返すことで、縮小する閉区間の列 が得られる。区間縮小の原理より、これらの交わりは唯1点 を含む。 を覆う開集合 が存在し、十分大きな に対して となるが、これは が有限個の元で覆えないとした仮定に矛盾する。 上限（ワイエルシュトラスの公理）による証明: 集合 を考える。 より は空でなく上界 をもつため、上限 が存在する。 かつ であることが示され、証明が完了する。

歴史 この定理の構成には、19世紀後半の実解析の厳密化を推進した複数の数学者が貢献している。

エドゥアルト・ハイネ（1872年）: 一様連続性に関する論文において、有界閉区間上の連続関数が一様連続であることを証明する過程で、実質的にこの被覆論法を用いた（ハイネ・カントールの定理）。 エミール・ボレル（1895年）: 可算個の開区間による被覆に関する定理を明示的に定式化し、証明を与えた。 ピエール・クーザン（1895年）、ルベール・ルベーグ（1904年）: ボレルの結果を任意の（非可算な）開被覆へと一般化した。

歴史的には「有界閉集合における開被覆からの有限部分被覆の抽出」という性質（現在のコンパクト性の定義）が定理として証明され、後に20世紀の位相空間論においてこの性質自体が抽象的な「コンパクト性」の定義として採用されるに至った。

関連項目 エドゥアルト・ハイネ エミール・ボレル ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 コンパクト (数学) 全有界