ラグランジュの定理 (群論)

群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。

に関しては#同値類による指数を参照。

定義部分群による同値関係群の要素に関して、群の部分群の要素を用いて、となるとき、と定義する。の単位元をとすると、は部分群だからであり、となるので、である。のとき、は部分群だからとなるので、のとき、となりである。に関して、ならばだからとなる。は部分群なので、となるからである。したがって、は同値関係になる。

同値関係による同値類部分群に関して、同値関係による同値類はになるから、に等しくなる。これをのによる左剰余類（left coset）という。同値関係による同値類の集合をと書く。

部分群が有限群の場合はと表すことができて、左剰余類はとなる。

同値類の間の同型写像部分群から同値類への写像をと定義するとき、とすると、となるから、左からを掛けてとなるので、写像は単射になる。写像による部分群の像がだから写像は全射になり、全単射になる。したがって、写像の逆写像はとなる。これより、同値類から同値類への写像をと定義すると写像は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類とは同型となり、となる。

同値類による指数左剰余類の集合の要素の個数（濃度）であるをにおけるの指数（index of a subgroup in a group ）と呼び、またはまたはと書く。

が有限集合の場合は、と表すことができて、となる。

が有限群の場合は、以下のように書ける：

証明有限群の部分群をとすると、

左剰余類はに等しくなる#同値関係による同値類を参照。ので、

このとき、の要素にを対応させる写像をとすると、のとき、左からを掛けて、となるので、写像は単射になる。

写像はをに写すからは全射となるので、全単射になる。したがって、ととは同じ個数の要素を待つから、となる#同値類の間の同型写像を参照。。

したがって、のによる類別を考えると、以下のようになる#同値類による指数を参照。。

このとき、となるので、となる。となるので、

Q.E.D.

拡張ラグランジュの定理は群における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。以下では、が群の部分群であるとき、またはと表し、が群の部分群であり、かつが群の部分群であるとき、またはと表す。

のとき（は群の単位元）とおくとおよびが成り立つ。したがって、元々の等式を得る。

応用系(1) ラグランジュの定理には、次のような系がある。

証明が有限群の場合は、指数（におけるの左剰余類の個数）が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。

系(2)

証明群の任意の元で生成される巡回群 ⟨⟩を考えればよい。巡回群 ⟨⟩はの部分群になるので、その位数 |⟨⟩| は群の位数を割り切ることになる。

素数位数の有限群

証明より、群の単位元以外の元をとすると、が生成する巡回群は群の部分群になるから、その位数は素数の約数になる。したがって、またはになる。の場合は、となり不適。の場合は群の位数と等しくなるので、となり題意は示された。

フェルマーの小定理

証明位数の巡回群の乗法群は位数の有限群になるから、の任意の元をとすると、ラグランジュの定理の系(2) より、が成り立つ。したがって、のときが素数で割り切れるから、となる。よって、のとき、が成り立つので、を得る。

より一般に、合成数についても乗法群を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。

逆ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数の有限群とを割り切る自然数が与えられたとき「位数がであるの部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群が位数6である部分群をもたないので、（群の位数が最小の）反例を与えるからである。一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である。つまり位数を割り切る素数のべきで最大のものを考えると、位数の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般にがを割り切るならば、位数の部分群が存在することもわかる。（コーシーの定理も参照のこと。）

歴史

ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

脚注

注釈

出典

参考文献

ラグランジュの定理 (群論)

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