三角錐数

三角錐数（さんかくすいすう、triangular pyramidal number）は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数（しめんたいすう、tetrahedral number）ともいう。

例： 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)

n 番目の三角錐数 Tn は1から n 番目の三角数 n(n + 1)/2 までの和に等しいので

また組み合わせの記号を用いるととなる。

三角錐数を小さい順に列記すると 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …（）。

性質

三角錐数のうち平方数でもある数は 1, 4 と 19600 (=1402) の3つのみである。()

三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は 1 のみである。

三角錐数のうち三角数でもある数は1, 10, 120, 1540, 7140 の5つのみである。（）

2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。

三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=1+3+5、56=2+4+6)

奇数の時　

偶数の時　

三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。 (奇数…、偶数…)

right|thumb|350px|パスカルの三角形

パスカルの三角形における数列は左上（または右上）にある列から順に

モナド(単数)の数列　1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, ,…

自然数の数列　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, ,…

三角数の数列　1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…, ,…

三角錐数の数列　1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165,…, ,…

となっている。左上（または右上）にある数列はその一つ右下（または左下）の数列の階差数列である。

三角錐数の逆数の総和は

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