数学において、ベクトル束（べくとるそく、; ベクトルバンドル）は、ある空間 （例えば、 は位相空間、多様体、代数多様体等）により径数付けられたベクトル空間の族を作るという方法で与えられる幾何学的構成である。代表的な例の一つは、曲面の各点にその点での接平面を貼り付けた接束である。ベクトル束は微分幾何学、位相幾何学、代数幾何学などで基本的な対象として用いられ、ベクトル場、微分形式、ゲージ理論における物質場など、空間の各点にベクトルを対応させる対象を統一的に扱う枠組みを与える。
導入 空間 上のベクトル束（ベクトルバンドル）とは、 の各点 にベクトル空間 を対応させた（というよりは「貼り付けた」("attach")）とき、それらが「うまく貼り合わされて」もとの と同種の空間（例えば、位相空間、多様体、代数多様体等）を成すようなものである（「バンドル」は一まとめに束ねたものの意）。例えば、球面（地球の表面）の各点 に、その点で球面に接する平面（接平面）を一枚ずつ貼り付けることを考える。各接平面は二次元のベクトル空間であり、地表の風向と風速のように、その点での「向きと大きさをもつ量」を表すのに使える。ただし、異なる二点 , に貼り付けられた接平面は一般に別の平面であり、 での風のベクトルと での風のベクトルを直接足し合わせることはできない。このように、点ごとに別々のベクトル空間を用意して全体をひとまとめにしたものが、ベクトル束である。
最も単純な例は、貼り合せるベクトル空間の族が一定の（つまり固定したベクトル空間 V により、すべての に対し となる）場合である。このとき、各点 に対応する V の複写の全体が貼り合わされて 上のベクトル束 × V ができる。この様なベクトル束は自明であると言われる。例えば、 が一点のとき、 上の自明なベクトル束とはベクトル空間 V そのものである。また、 を円周 、V を直線 とすると、 は円周の各点に直線を一本ずつ貼り付けたものであり、円筒（の側面を両方向に無限に延ばしたもの）と同相である。
ベクトル束には通常、局所自明性が要請される。すなわち、 の各点のまわりの十分小さな範囲では、ベクトル束は直積 の形をしている。これは、ベクトル束が、ベクトル空間をファイバーとするファイバー束（ファイバーバンドル）であることを意味する。局所的には直積に見えても、大域的には自明であるとは限らない。
より複雑な例として、滑らかな多様体（可微分多様体）の接束がある。これは多様体 の各点 に、その点での接空間 を付随させたものである。接束は一般には自明束ではない。
例えば、円周 の接束は、各点で円に接する直線を貼り付けたものであるが、円周に沿って一定の速さで回る（至る所零でない）ベクトル場が取れるため、自明束 と同型である。一方、二次元球面 の接束は、毛玉の定理（ 上の連続なベクトル場は必ずどこかで零になる）により自明ではない。実際、接束が自明束 と同型であるとすると、定数ベクトル に対応する切断は至る所零でないベクトル場となり、毛玉の定理に反する。
一般に、多様体の接束が自明となることを「多様体は平行化可能 である」と言い表す。円周のほか、トーラス、、 は平行化可能であり、球面 （）が平行化可能となるのは の場合に限られる。
また、ベクトル空間として実数体または複素数体上のベクトル空間を考えるのが普通であり、そのようなベクトル束は、それぞれ実ベクトル束または複素ベクトル束と呼ばれる。複素ベクトル束を、付加構造を備えた実ベクトル束として見ることもできる。以下では、位相空間の圏における実ベクトル束に焦点を絞って議論する。
定義および定義からただちに証明されること
実ベクトル束は、 底空間（ていくうかん、）と呼ばれる位相空間 および全空間（ぜんくうかん、）と呼ばれる位相空間 束射影（そくしゃえい、）あるいは単に射影と呼ばれる連続写像 任意の に対し、ファイバー に与えられた実ベクトル空間としての構造 の組であって（ただし、紛れのおそれの無い場合には束射影の記号で代表して、ベクトル束 あるいは全空間で代表してベクトル束 のように呼ぶ）、以下の整合性条件：
任意の に対し、 の開近傍 , 正整数 , 同相写像
が存在し、任意の に対して、 任意の に対して かつ 写像 はベクトル空間の同型写像である。
を満たすものである。開近傍 に同相写像 を考え合わせたものを、ベクトル束の局所自明化 という。局所自明化によって、写像 が「局所的に見れば」 から の射影である「かのようにみえる」ということが表されている。言い換えれば、 の各点 のまわりには、ベクトル束を直積 という「平らな」形とみなせる範囲 が取れる。この範囲の中では、ファイバーのベクトルを 個の実数の組（成分）で表すことができる。ただし、成分の取り方（ファイバーの基底の選び方）は範囲 ごとに異なってよく、範囲どうしが重なる部分では成分の取り方にずれが生じる。このずれを記述するのが後述の座標変換であり、ベクトル束が大域的に自明であるかどうかは、このずれを解消できるかどうかに対応する。
任意の に対し、ファイバー は有限次元の実ベクトル空間であり、従って実ベクトル空間としての次元 を有する。局所自明性により、関数 は局所定数であり、従って の各連結成分の上では一定である。任意の に対し、 が定数 に等しいとき、 をベクトル束 の階数（かいすう、）といい、 は階数 のベクトル束であるという。階数 1 のベクトル束は、直線束 () と呼ばれる。階数 2 のベクトル束は平面束 (plane bundle) と呼ばれることもある。例えば、 次元多様体の接束の階数は であり、円周上のメビウスの帯は階数 1、曲面の接束は階数 2 である。また、複素直線束は、実ベクトル束とみなせば階数 2 の平面束である。
直積 に自然な射影 を考えたものはベクトル束であり、 上の階数 の自明束（じめいそく、trivial bundle）という。
座標変換式 階数 のベクトル束 と、 の開集合の対 およびそれぞれの上の局所自明化
が与えられているとき、 上で合成写像
は矛盾無く定まり、
を満たす連続な -値写像
が一意に定まる。このような写像を（ のとり方に依らず総称して）ベクトル束の遷移写像もしくは推移写像 または座標変換 という。ここで は一般線型群 であり、 は、点 の上のファイバーにおいて 側の成分 を 側の成分 に変換する 可逆行列（基底の取り替えの行列）である。
座標変換の全体は、局所自明化をもつ任意の開集合 について、 上で
を満たすという意味で を成す（これは と同値である。階数が 2 以上のときは行列の積の順序が重要になる）。局所自明性により、組 はファイバー束である。このとき、座標変換 が に値をもつことは、ファイバーの構造群が であり、ファイバー への作用が行列による通常の作用として与えられることを意味する。
逆に、 の開被覆 と、各 上の連続な -値写像 で、上記のコサイクル条件を満たすものが与えられたとする。このとき、自明束 たちを、重なり部分で
により貼り合わせて得られる空間は、 上の階数 のベクトル束になる。したがって、ベクトル束を、このような座標変換（コサイクル）のデータとして定義することもある。
座標変換の具体例 接束の座標変換は、座標近傍の間の座標変換のヤコビ行列で与えられる。 次元可微分多様体 の二つの座標近傍 , をとり、各点の接ベクトルを あるいは の係数で表すことで接束の局所自明化を定めると、 上の座標変換は
となる。例えば、円周 を、点 を除いた開集合 （角度座標 ）と、点 を除いた開集合 （角度座標 ）で覆うと、重なり部分では または であり、どちらの場合も となる。座標変換が常に 1 であるから、 の接束は自明束である。
メビウスの帯は、座標変換を取り替えるだけで円筒から得られる。円周 から異なる二点 , をとり、、 とおく。, はそれぞれ開区間と同相で連結であり、 は二つの開弧 , からなる。自明束 と を、 上で
により貼り合わせる。ここで は から への連続写像であり、, の上ではそれぞれ定数になる。 上でも 上でも とすれば、得られる直線束は自明束 （円筒）である。 上で 、 上で とすれば、 の側でファイバーの向きが反転する貼り合わせとなり、得られる直線束はメビウスの帯である。
後者が自明でないことは、次のように確かめられる。切断 が至る所零でないとし、, 上での の成分を連続関数 とする。これらは を満たす。, は連結なので、, の符号はそれぞれ一定である。ところが 上では両者の符号は等しく、 上では逆になるため、矛盾が生じる。したがってメビウスの帯には至る所零でない切断が存在せず、自明束ではない。
ベクトル束の射 ベクトル束 からベクトル束 への射 は、連続写像 と の対であって、以下の条件を満たすものである。
ベクトル束の射の可換性 任意の に対し、 が引起こす写像 は、ベクトル空間の線型写像である。
の全射性により、 は によって完全に決定される。このことから は の被覆と呼ばれる。
ベクトル束全体の成す類に束射を考え合わせたものは圏をなす。ベクトル束を空間が可微分多様体で束射影が滑らかなものに制限し、束の射も滑らかなもののみに制限すると、滑らかなベクトル束の圏を得る。ベクトル束の射は、ファイバー束間の束写像の概念の特別な事例であり、（ベクトル）束準同型（写像） ともいう。具体例として、滑らかな写像 の微分を各点でまとめたもの は、接束の間のベクトル束の射であり、底空間の写像 を被覆する。各ファイバー は、点 における の微分（線型写像）である。
から への束準同型で、その逆写像が再び（ から への）束準同型であるものを（ベクトル）束同型（写像） といい、このとき と とは束（として）同型であるという。 上の（階数 の）ベクトル束と（ 上の階数 の）自明束の間の同型写像を の自明化 といい、自明化をもつベクトル束 は自明である、または自明化可能 であるという。ベクトル束の定義より、任意のベクトル束は局所的に自明である。
固定した底空間 の上のすべてのベクトル束の圏を考えることもできる。 この圏の射として、底空間 上の写像が恒等写像になるベクトル束の射を取る。 つまり、以下の図式を可換にする束の射である。
ベクトル束の -射
（この圏はアーベル圏ではない。ベクトル束の射の核をベクトル束とする自然な方法は一般に存在しない。例えば、 上の階数 1 の自明束 からそれ自身への射 を考える。 の各点ではファイバー上の写像 は同型なので核は であるが、 では零写像となり核はファイバー全体 である。ファイバーごとの核の次元が一定でないため、核をファイバーとする族はベクトル束にならない）
ベクトル束 からベクトル束 へのベクトル束の射が、写像 を被覆するとき、この射は、 上で から （定義は後述）へのベクトル束の射と見ることもできる。
切断および局所自由層
ベクトル束 と の開集合 が与えられたとき、 の 上の切断、断面 を考えることができる。切断とは、 を満たす連続写像 のことであり、これは本質的には の各点で、それに付随するベクトル空間のベクトルを連続的に対応させることを意味する。例えば、可微分多様体の接束の（滑らかな）切断とは、その多様体上の（滑らかな）ベクトル場に他ならない。地表の各点での風向と風速を対応させたものは、球面 の接束の切断（ベクトル場）の一例である。また、自明束 の切断は、連続写像 （ 個の連続関数の組）と同一視される。一般に、直線束は至る所零でない切断をもつときに限り自明であり、メビウスの帯のような自明でない直線束の切断は、必ずどこかで零ベクトルとなる（座標変換の具体例を参照）。
階数 のベクトル束 が自明であるための必要十分条件は、 全体で定義された 個の切断 で、 の各点 において が の基底をなす（各点で線型独立である）ものが存在することである。このような切断の組を大域的な枠 () という。実際、枠があれば、 が自明束 から への同型を与える。例えば、円周の接束は至る所零でないベクトル場をもつため自明であり、二次元球面の接束は、毛玉の定理により至る所零でない切断すら存在しないため枠をもたず、自明でない。
F(U) を、U 上の切断全体の集合とする。F(U) は常に、少なくとも零切断 と呼ばれる一つの要素を含む。これは、任意の要素 をベクトル空間 の零ベクトルに写像する切断 s である。 各点における切断の加法とスカラー倍により、F(U) はそれ自体が実ベクトル空間になる。 これらベクトル空間の（開集合 U に関する）系は、 上のベクトル空間の層をなす。この層を、ベクトル束 の切断の層 () という。
s が F(U) に属する切断で α: U → R が連続写像のとき、点ごとのスカラー乗法で定義される αs は再び F(U) に属する。したがって、F(U) を U 上で定義された実数値連続関数環の上の加群と見なすことができる。さらに、 上の実数値連続関数全体の成す構造層を O と書くと、切断の層 F は O 加群の層になる。
どんな O 加群の層でも、ベクトル束からこの方法で得られるというわけではなく、局所自由であるものに限られる。ここで、O 加群の層が局所自由であるとは、 の各点のまわりに開集合 が取れて、 への制限が O の への制限の有限個の直和に同型となることをいう。実際にこの構成法では、局所的には射影 U × Rk → U の切断を求めることになるが、それはちょうど連続写像 U → Rk であって、連続関数 U → R の k 組として表されるからである。
さらに言えば、 上の実ベクトル束の圏は、局所自由かつ有限生成な O 加群の層の圏に圏同値である。したがって、 上の実ベクトル束の圏は O 加群の層の圏に含まれていると考えることができる。後者はアーベル圏であり、それによってベクトル束の射の核や余核をその中でならば計算することができる。
ベクトル束の演算 ベクトル空間に対する演算の多くは、それをファイバーごとに行うことによってベクトル束の演算に拡張することができる。
例えば、 が 上のベクトル束のとき、 におけるファイバー をその双対ベクトル空間 に取り替えて、 の双対束 と呼ばれる 上のベクトル束 が定まる。厳密に言えば、 は、, に関する対 全体の成す集合として定義できる。 の局所自明化 の各ファイバー上の線型同型 の双対（転置）を取ることで、 と の間の線型同型が得られ、これらを 上でまとめたものが の局所自明化を与える（ の位相は、これらが同相写像となるように定める）。したがって、双対束は局所的に自明である。 の座標変換 に対応する の座標変換は、転置逆行列 である。これには、線型同型にその転置の逆写像を対応させる操作が連続であり、合成と両立すること（関手的であること）が鍵になっている。例えば、接束の双対束は余接束であり、その切断が1-形式である。
（同じ体上の）二つのベクトル空間の上で行える関手的操作のほとんどは 上のベクトル束 の対に直接的に拡張することができる。いくつか例を挙げる。
と のホイットニー和 または直和束 と呼ばれる 上のベクトル束 は、各点 の上のファイバーがベクトル空間 と の直和 となるものとして定義される。階数は和になる。例えば、 の接束 （階数 2）と、 の法束 （単位法ベクトルをもつため自明、階数 1）のホイットニー和は、各点でのファイバーが「接平面と法線の直和」すなわち となるため、自明束 と同型である。このように、自明でないベクトル束どうしの和が自明束になることがある。 同様に、テンソル積束 が、ファイバーごとにベクトル空間のテンソル積を用いることによって定義できる。階数は積になる。例えば、円周上のメビウスの帯 について、 の座標変換は となるため、自明な直線束である。 準同型束 は、 におけるファイバーが から への線型写像全体の空間（ または としばしば書かれる）であるようなベクトル束である。この束をこのように書いて便利に準同型束（あるいは Hom-束）と呼ぶのは、「 の 上の切断」と「 から への 上のベクトル束の準同型」とが同一視できるためである。 双対束 は と自明束 との間の準同型束 に一致する。また、自然なベクトル束の同型 が存在する。 さらに、自己準同型束 の断面 と連続関数 が与えられたとき、点 上のファイバーを線型写像 の -固有空間としたものを考えることができる。この族は、固有空間の次元が局所的に一定であるときに限りベクトル束となり、これを固有束 () という。例えば、 上の階数 2 の自明束で、、 とすると、 では固有空間は 1 次元、 では 2 次元となるので、ベクトル束にならない。
これらの操作は、ベクトル空間の圏における操作の多くが関手的な仕方でベクトル束の圏における操作として意味を成すという、ベクトル束が持つ一般的な特徴を示す特定の例となっている。このことは滑らかな関手の言葉を用いて精緻化することができる。
もっと別な種類の操作として、原像あるいは引き戻し 構成と呼ばれるものがある。ベクトル束 と連続写像 が与えられたとき、集合 に直積からの相対位相を入れ、 を射影とすると、 上のベクトル束 が得られる。これを の による引き戻し束という。つまり、 上のファイバーは、 の 上のファイバー と、ベクトル空間として同一視される。例えば、 が部分空間 の包含写像のとき、 は を に制限したものである。また、円周の二重被覆 , によるメビウスの帯の引き戻しは自明束になる（新しい円周を一周する間に、もとの円周を二周し、ファイバーの向きが 2 回反転して打ち消し合うためである）。
引き戻しを使えば、ホイットニー和 を次のように定義することもできる。 上のベクトル束 , に対し、 上のベクトル束 （点 上のファイバーが であるもの）を考え、これを対角線写像 で引き戻したものが である。
ベクトル束の分類 がパラコンパクト空間であるとき、 上の階数 の実ベクトル束の同型類は、 から への連続写像のホモトピー類の全体と一対一に対応する（ベクトル束の分類定理）。この意味で、 は階数 の実ベクトル束の分類空間である。例えば、円周上の直線束の同型類は、自明束とメビウスの帯の 2 種類のみである。
同型類を区別する不変量として、特性類（スティーフェル・ホイットニー類、チャーン類、ポントリャーギン類、オイラー類など）がある。例えば、メビウスの帯は第 1 スティーフェル・ホイットニー類が零でないことにより、自明束と区別される。
付加構造と一般化
ベクトル束には、さらにいろいろな構造が与えられていることも多い。例えば、ベクトル束にはが与えられていることがある。通常は計量が正定値であることを仮定し、これによって の各ファイバーはユークリッド空間となる。また例えば、複素構造を備えた実ベクトル束は複素ベクトル束に対応する。複素ベクトル束は、実ベクトル束の定義において実ベクトル空間や実線型写像としていたところを代わりに複素ベクトル空間や複素線型写像にとりかえて得られるものである。もっと一般に、ベクトル束に移入された付加構造は、典型的にはによって得られるものとして理解することができる。（実数体や複素数体だけではなく）さらに一般の位相体上のベクトル束というものも用いられる。
また、有限次元ベクトル空間の代わりにバナッハ空間をファイバー とすることでの概念がえられる。特に、各ファイバー上の局所自明化に対する条件は（単に線型同型なだけでなく）バナッハ空間の同型とするのが自然であり、さらに座標変換
がの間の連続写像となるようにすべきである。同様に、-級ベクトル束の理論では、これらの写像が -級であることを要請する。
ベクトル束は、ファイバーがベクトル空間でコサイクルがベクトル空間構造を保つような特別なファイバー束であった。もっと一般のファイバー束は、そのファイバーとして他のさまざまな構造をとることができる。たとえば、球面によってファイバー付けられるファイバー束はと呼ばれる。
可微分ベクトル束
本節では、底空間を 、束射影を と書く（前節までの , に対応する）。ベクトル束 が滑らか であるとは、 と が滑らかな多様体であり、 が滑らかな写像で、かつ局所自明化 が微分同相となることをいう。要求する滑らかさの度合いにより、各種の -級ベクトル束や -級ベクトル束、-級ベクトル束（実解析的ベクトル束）などの異なる概念が得られる。本節では、-級ベクトル束について主に述べる。代表的な -級ベクトル束の例は、-級多様体 の接束 である。
一般の -級ファイバー束にはなく、-級ベクトル束 に特有の性質として、ファイバー の点 における接空間 が、ファイバー 自身と自然に同一視できることが挙げられる。ベクトル空間 では、点 における接ベクトルは、 のベクトル の方向への直線 の速度として表せるため、 での接空間は 自身と同一視できる。ファイバーはベクトル空間なので、この同一視が使える。一般のファイバー束ではファイバーがベクトル空間とは限らず、このような自然な同一視は存在しない。この同一視は
で定義される垂直射あるいは垂直持ち上げ によって与えられる。垂直持ち上げは自然に -級ベクトル束の同型 と見ることができる。ここで は、 上のベクトル束 を に沿って 上へ引き戻した引き戻し束であり、 は垂直接束と呼ばれる、全空間 の接束 の自然な部分ベクトル束である。
スリットベクトル束 はベクトル束 から零切断 を取り除くことで得られ、ここから得られる標準的なベクトル場 は標準ベクトル場 として知られる。もっときちんと言えば、 はベクトル束 の滑らかな切断であり、またリー群作用
の無限小生成作用素としても定義される。
任意の滑らかなベクトル束 に対して、その接束 の全空間 は自然な を持つ。ここで は標準射影 の押し出し である。すなわち、 は 上のベクトル束であると同時に、 上のベクトル束でもある。この二次ベクトル束構造におけるベクトル束演算は、もとの加法 （ は とそれ自身のホイットニー和）およびスカラー倍 から得られる押し出し および である。
K-理論 は、コンパクトハウスドルフ空間などの位相空間に対し、その上の複素ベクトル束を用いて定義される一般コホモロジー理論（通常のコホモロジー理論の公理のうち、次元公理を除いたものを満たす理論）である。コンパクトハウスドルフ空間 上の K-理論の群この構成はグロタンディーク群の構成の一例である。 は、 上の複素ベクトル束 の同型類 の全体 VecBdlC(X) を生成系とする自由可換群に対して、完全列
を持つ全てのベクトル束 について与えられる関係式
を基本関係式として定めて得られる商群である。
直観的には、 は、ベクトル束の同型類に「形式的な差」 を許して、自然数から整数を作るのと同様にして得られる加法群である。コンパクトハウスドルフ空間上のベクトル束の完全列は分裂する（）ため、基本関係式は と同値であり、ホイットニー和が群の加法に対応する。例えば、一点上の複素ベクトル束は複素ベクトル空間であって次元で分類されるため であり、2 次元球面については である。
複素ベクトル束の代わりに実ベクトル束を用いた同様の構成は という。コンパクト台付き -理論や、高次の -理論なども定義することができる。
ラウル・ボットのは、複素 理論において、次数が 2 つずれた 群が自然に同型であること、すなわち
を主張するものである。同値な形として、コンパクトハウスドルフ空間 と 2 次元球面 の直積について
が成り立つことが知られる。実ベクトル束に対する では、周期は 8 である。
代数幾何学において、 理論の群はスキーム 上のベクトル束に上記の同値関係をあたえたもののみならず、スキーム上の連接層の全体からも -理論の群が作られる。台となるスキームが（体上の滑らかな準射影的スキームのように）十分良い正則スキームであれば、この二つの構成は同じ群を与える。
関連項目 一般的事項 ：ベクトル束の分類空間、特に、直線束に対する射影空間 特性類
位相幾何学、微分幾何学 主束 ファイバー束：一般的な位相幾何学の概念、特に、被覆空間がある。 接続 (ベクトル束)：ベクトルバンドルの断面を微分するのに必要な概念 層 (数学)
代数幾何学、解析幾何学
連接層、特にピカール群 正則ベクトル束
注釈
出典
参考文献
. ISBN 978-0-8218-4815-9 see Ch.5 , see section 1.5. , see section 1.5