立方根

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

定義積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在し、それをと表す。

性質正の数に対して、

の虚立方根の一つをとすると、もう一つの虚立方根はであり、, はともに 1 の原始冪根である。また、が成り立つ。

がでない複素数ならば、の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点を中心とする半径の円に内接する正三角形の頂点になる。

具体的な数 () () () () () ()

()

複素数 480px|サムネイル|右|複素数の冪根の幾何学的表現複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

極形式では

ここで rは非負の実数、の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。 ,

は（）が主要根となる（-2（）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

単位円での例との主要根の関係を単位円上で示すと（、偏角の例）

脚注

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