数学における有向集合（ゆうこうしゅうごう、directed set）、有向前順序集合 あるいはフィルター付き集合 とは、空でない集合 A と反射的かつ推移的な二項関係（つまり前順序）≤ との組 (A, ≤) であって、さらに任意の二元が上界を持つ、すなわち A の任意の元 a, b に対して、A の元 c で a ≤ c かつ b ≤ c を満たすものが必ず存在するものをいう。有向集合の順序（前順序）関係は方向（）とも呼ばれる。
有向集合は空でない全順序集合の一般化、すなわち任意の全順序集合は有向集合となるが、一方で必ずしも全ての半順序集合が有向集合となるわけではない。位相空間論において有向集合は列の概念を一般化する有向点族（ネット）の概念を定義するのに用いられ、それにより解析学で用いられる様々な極限の概念を統一的に扱うことが可能になる。有向集合から抽象代数学あるいはもっと一般の圏論における直極限の概念が生じる。
同値な定義 上記のものとは同値だが別な定義の仕方もある。すなわち、前順序集合 A の任意の有限集合が上界を持つとき、A は有向集合であるという。先の定義はこの定義を含意する。実際、空集合に対しては、A が空でないから A に存在する任意の元が空集合の上界になるし、空でない有限集合については、二元ごとの上界を求める操作を繰り返せば、その元の数に関する帰納法で上界の存在を示せる。
下有向集合と定義の揺れ 上記で定義された概念は、明示的に上有向集合（）と呼ばれることもある。これと対称的に、任意の有限部分集合が下界を持つ（すなわち、任意の二元に対してそれら以下となる元が存在する）前順序集合は、下有向集合（）と定義される。特段の断りがない限り、単に「有向集合」といえば上有向集合を指すことが多いが、著者によっては、上と下の両方に有向である前順序集合のことのみを「有向集合」と呼ぶ場合もある。
例 有向集合の例には以下のようなものが挙げられる。 自然数全体の成す集合 N に通常の大小関係による順序 ≤ を入れたものは有向集合である（さらに全順序集合でもある）。同様に整数全体の成す集合 、有理数全体の成す集合 、実数全体の成す集合 もすべて有向集合である。 合流性（）を持つ抽象書き換え系 があるとき、その反射推移閉包 は有向集合となる。 実数 x0 に対して、それ以外の実数全体の成す集合 R ∖ {x0} はとおくことにより有向集合となる。この状況は実数が「x0 へ向かう向き」を持つという。これは半順序でも全順序でもないような有向集合の例になっている。なぜなら、x0 から等距離の反対側にある二元（例えばある実数 に対する と ）について、二元は相異なるにもかかわらず互いに かつ が成り立ち、反対称関係が崩れるためである。なお、この順序を R ∖ {x0} ではなく R 全体に対して定義した場合も有向集合を成し、このとき x0 は（一意な）最大元となる（ただし、やはり半順序にはならない）。この例は、前順序を と定義することで、任意の距離空間 に一般化できる。 半順序集合だが有向集合でないような（自明な）例として、集合 {a, b} に順序関係として a ≤ a および b ≤ b のみが成り立つものが挙げられる。もう少し自明でないような例としては、先に挙げた「x0 へ向き付けられた実数」の例を少し変更して、x0 に関して同じ側にある二元のみに順序関係を制限したものを考えればよい（この場合、x0 の左側の元と右側の元は比較不能となり、それらの二元集合は上界を持たない）。
有向集合の直積 と を有向集合とする。このとき、直積集合 に対し、 と定義することで、直積集合を有向集合にすることができる。これは積順序と同様の定義であり、直積集合上の積方向（）と呼ばれる。例えば、自然数の対全体の成す集合 N × N はこの方法で有向集合となる。
極大元と最大元 前順序集合 の元 は、すべての に対して を満たすとき極大元と呼ばれる。また、すべての に対して を満たすとき最大元と呼ばれる。最大元を持つ任意の前順序集合は、同じ前順序関係によって有向集合となる。前順序集合が有向集合となるための必要十分条件は、その（空の可能性もある）極大元の集合が、最大元の集合と一致することである。
集合の包含関係 集合の包含関係 およびその双対関係 は、任意の集合族の上に半順序を定義する。空でない集合族 は、包含関係 （または ）に関して、任意の二つの元の積集合（または和集合）が、族の中の第三の元を部分集合として含む（または第三の元の部分集合となる）とき、かつそのときに限り有向集合となる。 形式的に言えば、集合族 が （または ）に関して有向集合であるとは、 すべての に対して、 かつ （または かつ ）を満たすある が存在すること、 あるいはこれと同値だが、 すべての に対して、 （または ）を満たすある が存在することである。
この包含関係による半順序を用いて、多くの重要な有向集合の例が定義される。 近傍系: T が位相空間で、x0 が T の元とすると、x0 の近傍全体の成す集合は U ≤ V ⇔ U ⊇ V とおくことにより有向集合となる。つまり、 任意の U に対して U は自分自身を含むから U ≤ U が成り立つ。 任意の U, V, W に対して、U が V を含み V が W を含むならば U は W を含むから、U ≤ V かつ V ≤ W ならば U ≤ W が成り立つ。 任意の U, V に対して、U も V も U ∩ V を含むから、U ≤ U ∩ V かつ V ≤ U ∩ V を満たす集合 U ∩ V が取れる。 フィルター基とフィルター: 定義より、（またはプレフィルター）とは、包含関係 に関する有向集合であり、かつ空集合を含まない空でない集合族のことである（空集合を含まないという条件は、さもなければ空集合が に関する最大元となり議論が自明化してしまうのを防ぐためである）。二つの元の積について閉じている空でない集合族である（-system）は、すべて に関して有向集合である。また、すべてのフィルター、位相（開集合系）、およびσ-代数は、 と の双方に関して有向集合である。 ネットの裾: 有向点族（ネット）は有向集合からの写像であり、列は自然数の集合 からの写像である。有向集合 からの任意のネット に対し、各インデックス におけるネットの「裾（）」とは、集合 のことである。これらすべての裾の族 は、包含関係 に関して有向集合（さらに言えばフィルター基）を構成する。 有限部分集合族: 集合 のすべての有限部分集合の成す集合 は、包含関係 に関して有向集合となる。なぜなら、任意の二つの有限部分集合 に対して、それらの和集合 が における上界となるからである。この特定の有向集合は、 でインデックス付けられた数の集まり の一般化級数（またはより一般に、アーベル位相群や位相線形空間におけるベクトル族の和）の和 を、部分和のネット の極限として定義する際に用いられる。すなわち、
である。
論理学 を、ある特定の性質を持つ論理文の集合である形式理論（）とする（詳細は理論の記事を参照）。例えば、 は一階述語論理の理論（ツェルメロ＝フレンケル集合論など）や、より単純な命題論理の理論であり得る。このとき、前順序集合 は有向集合となる。なぜなら、 であり、 が論理積 によって形成される論理文であるとすると、 であり、かつ および が成り立つからである。もし を に付随するリンデンバウム・タルスキ代数とするならば、 は半順序集合であり、同時に有向集合でもある。
半順序集合 P において、各元の任意の下方閉包、すなわち P の固定された元 x に対して {a ∈ P | a ≤ x} の形に書ける集合は全て、有向集合である。
半束との対比
有向集合は（結び）半束よりも一般の概念である。すなわち、任意の結び半束は、二元の結びをそれらの上限とみることにより有向集合となる。しかし逆は成り立たない。例えば {1000, 0001, 1101, 1011, 1111} にビットごとの順序（例えば 1000 ≤ 1011 は成り立つが 1000 ≤ 0001 は成り立たない。なぜなら最後のビットにおいて 1 > 0 となるため）を入れた順序集合において、二元集合 {1000, 0001} は三つの上界（1101, 1011, 1111）を持つが、その中で最小のものは存在しない（もし 1111 を除外すると、この集合は有向集合ですらなくなる）。
有向部分集合 有向集合における順序関係は、反対称であることを要求されないから、従って有向集合は必ずしも半順序ではない。しかし「有向集合」という用語を半順序集合の文脈で用いることも多く、その場合に半順序集合 (P, ≤) の部分集合 A が有向部分集合 であるというのを、P における順序によって A 自身が有向集合となることと定める。言い換えれば、有向部分集合とは、空でない部分集合で、任意の二元が上界を持つものをいう（ここで、A の元についての順序関係は P からくるものであるから、反射性と推移性を明示的に要求せずとも、実際にはそれらの性質が成り立っている）。
半順序集合の有向部分集合は下方閉であることは要求しない。半順序集合の部分集合が有向部分集合であるための必要十分条件は、その下方閉包がイデアルとなることである。有向集合の定義は「上に有向な」集合（任意の二元が上界を持つ）に対するものになっているけれども、同様に任意の二元が下界を持つという下有向集合を定義することもできる。半順序集合の部分集合が下有向集合となるための必要十分条件は、その上方閉包がフィルターとなることである。
有向部分集合は、有向完備半順序を研究する領域理論において用いられる。有向完備半順序とは、その任意の上方有向集合が上限を持つような半順序集合である。この文脈でも、有向部分集合は収束列のさらなる一般化を提供する。
関連項目 フィルター付き圏 Centered set Linked set 有向点族
注記
参考文献 日本語訳: Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0521803381.