数学において、ガロア拡大（ガロアかくだい、）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。あるいは同じことだが、E/F が代数拡大であって、自己同型群 Aut(E/F) によるがちょうど基礎体 F であるもののことである。ガロア拡大は、ガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うという点で、重要であるこれらの用語の定義や例はガロア群の記事を参照。。
エミール・アルティンの結果によって、ガロア拡大を次のように構成できる。E が与えられた体で、G が E の自己同型からなるある有限群で固定体が F のとき、E/F はガロア拡大である。
ガロア拡大の特徴づけ エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各条件は E/F がガロア拡大であるという条件と同値である。 E/F は正規拡大かつ分離拡大である。 E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。 |Aut(E/F)| = [E:F]、つまり自己同型の個数は拡大次数と等しい。 他の同値な条件として以下がある。 F[x] の既約多項式で E に少なくとも 1 つの根をもつものはすべて E 上分解しかつ分離的である。 |Aut(E/F)| ≥ [E:F]、つまり自己同型の個数は拡大次数以上である。 F は Aut(E) の部分群の固定体である。 F は Aut(E/F) の固定体である。 E/F の部分体と Aut(E/F) の部分群の間に1対1の対応がある。
例 ガロア拡大の構成方法として、次の2つの基本的な方法がある。 任意の体 E と Aut(E) の任意の部分群を取り、F を固定体とする。 任意の体 F と F[x] の任意の分離多項式を取り、E をその分解体とする。
有理数体に2の平方根をと、ガロア拡大となる。一方、2の立方根を添加すると非ガロア拡大となる。標数 0 であるからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は x2 − 2 の分解体である。一方、後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない。実際、後者は恒等写像の他に自己同型を持たない。なぜなら、この拡大は実数体に含まれているが、x3 − 2 には実根が1つしかないからである。より詳しい例は、ガロア理論の基本定理のページを参照。
体 K に対し、K の代数閉包 が K 上ガロア拡大であることと K が完全体であることは同値である。
脚注
参考文献
(Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
(Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.) (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
. English translation (of 2nd revised edition): (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)