プリミティブ方程式

プリミティブ方程式（プリミティブほうていしき、英語：primitive equations）とは、大規模な大気の運動を記述する非線形微分方程式群で、現在の気象予報モデルにおいて広く用いられている方程式。と比較すると、地衡風近似を用いていない分だけよりオリジナルな方程式であるということから，primitiveという形容詞が使われている笠原1997。

以下の3つの主要な部分からなる。 運動方程式 : 運動の水平スケールが鉛直スケールよりも十分大きいこと、静水圧平衡状態であること等を前提条件としてナビエ・ストークス方程式を近似する。 熱エネルギー方程式（エネルギー保存の法則） : 熱の出入りおよび、系全体の熱・エネルギーの変化とその状態を記述。 連続の方程式 : 質量の保存則を記述。

プリミティブ方程式からは、ラプラスのを導出できる。この式は、緯線方向の運動を決定づける固有値である、線形のを解に持つ。

一般的な気象の数値モデル(水蒸気を含む)では、プリミティブ方程式を用いて、東西流、南北流、ジオポテンシャル、気温（または温位）、湿度（または比湿）を予報する。

プリミティブ方程式の原型を最初に発表したのは、ヴィルヘルム・ビヤークネスであったBefore 1955: Numerical Models and the Prehistory of AGCMs アメリカ物理学会。ルイス・フライ・リチャードソンはこの式を用いて数値予報を行ったが失敗した。その原因は、振動数の高い慣性重力波的運動が不自然に卓越してしまい、気象現象が見えなくなってしまったことである。この問題を解決するため準地衡風方程式が用いられるようになった。準地衡風モデルでは，地衡風近似によって伝搬速度の速い慣性重力振動が除去されるため，時間積分では比較的長い時間間隔を用いることが出来るという利点があった。しかし、準地衡風モデルにはいくつかの問題点があった。一つは、超長波が西進し過ぎることである。このことは1950年の後半から1960年にかけて認識されはじめた。また、地衡風近似が成り立たない赤道域や小規模現象に対しては準地衡風モデルを適用できないという欠点があった。それらの問題点があったこと、そして、慣性重力波的運動を抑えるための技術(初期値化)が開発されたことから、1960年代になると再びプリミティブ方程式が広く用いられるようになった。

プリミティブ方程式系 運動方程式（鉛直方向の運動方程式は静力学平衡の式に置き換えられる） 熱力学の第一法則 気体の状態方程式 連続の方程式（連続の式） 水蒸気の輸送方程式

プリミティブ方程式の変数・定数 : 球面上における東西方向の速度。 : 球面上における南北方向の速度。 : 球面上における水平ベクトルで、成分は。 : 等圧鉛直座標の鉛直速度、鉛直p速度。 : 気温。 : ジオポテンシャル。 : コリオリパラメータ。。は地球の自転の角速度(rad/h)、は緯度。 : 気体定数。 : 気圧。 : 定圧比熱(乾燥)。 : 定積比熱(乾燥)。 : 単位量・単位時間当たりの熱の移動。 : 可降水量。 : 単位質量あたりの加熱率。 : 動粘性係数。

大気の運動を生じさせる力 大気に働く力としては、気圧傾度力、重力、粘性摩擦力がある。それらの力が大気に加速度を生じさせる。

気圧傾度力は、空気に対して、高圧部から低圧部へと働く加速度を生み出す。これを数式に表すと以下のようになる。

質量をもった物体に対して、鉛直下向きに重力加速度（約9.8 m/s2）が働く。

粘性摩擦力は以下の式で表される。

地球の自転を考慮して、以上の式を運動方程式にまとめると以下のようになる。

ここで、

熱エネルギーについては、

連続の式は、

状態方程式は、

静力学平衡は、

ジオポテンシャルは、

脚注

出典

参考文献

基礎知識 プリミティブ方程式 佐藤元、天気図と気象理論 Beniston, Martin. From Turbulence to Climate: Numerical Investigations of the Atmosphere with a Hierarchy of Models. Berlin: Springer, 1998. Firth, Robert. Mesoscale and Microscale Meteorological Model Grid Construction and Accuracy. LSMSA, 2006. Thompson, Philip. Numerical Weather Analysis and Prediction. New York: The Macmillan Company, 1961. Pielke, Roger A. Mesoscale Meteorological Modeling. Orlando: Academic Press, Inc., 1984. U.S. Department of Commerce, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Weather Service. National Weather Service Handbook No. 1 - Facsimile Products. Washington, DC: Department of Commerce, 1979.

関連項目 天気予報 数値予報モデル 全球気候モデル