孤立点

thumb|300px|"" は集合の孤立点である。位相空間論において、位相空間の点がの部分集合の孤立点（こりつてん、）であるとは、がに属し、かつ、の近傍であって以外のの点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。

特にがユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、がの孤立点であるとは、を中心とする開球体のうち以外のの点を含まないものが存在するということを意味する。

別な言葉で言えば、点がにおいて孤立するための必要十分な条件は、がの集積点とはならないことである。

孤立点のみから成る集合を離散集合という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である（これは有理数全体のなす集合が実数全体のなす集合において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合に差の絶対値を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。

孤立点を持たない集合はであるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合という。

「孤立点の数」というのは位相的性質（位相不変量）の一種である。すなわち、位相空間とが互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。

例以下に示す位相空間は実数直線の部分位相空間と見なす。

集合において、は孤立点である。集合において、点は孤立点だが、以外でにいくらでも近い点がの中に存在するため、は孤立点ではない。自然数の集合は離散集合である。モースの補題はある種の函数の非退化臨界点が孤立することを述べる。

直観に反する例実数直線内の開区間に属する点であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合をとする。またはの何れかが成り立つ。となる添字は有限個しかない。がなる最大の添字ならばが成り立つ。かつならばまたはが二者択一で成り立つ。これは感覚的に言えば、の二進小数展開の各位の数でに等しいものはどれも連続したの対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。

さては全く孤立点のみからなる陽に表された集合である一方で、はその閉包が非可算集合になるという直観に反する性質を持つ。

同様の性質を持つ集合の別な例は、単位閉区間内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点（例えば中央点）を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、の閉包はとカントール集合との合併であり、可算でない。

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