ゲルフォントの定数（ゲルフォントのていすう、）は数学定数の一つで、ネイピア数 e と円周率 を用いて e と表される数である。小数表示は e = 23.14069 26327 79269 00572 90863 67948 54738 02661 06242 60021 19934 45046 40952 43423 50690 45278 35169 71997 06754 92196 76… () である。この数はロシアの数学者にちなんで名付けられた。ゲルフォントの定数は e や と同様に超越数である。このことはゲルフォント＝シュナイダーの定理から証明できる。
数学的性質 ここで i を虚数単位にするとき
e はオイラーの公式より
から以下のように変形できる。
ただしiのi乗同様、…や、…などの(kは任意の整数)でもこのような変形ができてしまうためが多価であり1つの実数に定まらない事に注意が必要である。
ゲルフォント＝シュナイダーの定理は 「a を 0, 1 でない代数的数、b を有理数でない代数的数とすると、a は超越数である」という内容である。a = −1, b = −i はこの条件を満たすので、(−1) は超越数である。すなわち e は超越数である。
ちなみに、e, , などは有理数か否か、また無理数であるのなら超越数であるか否かは証明されていない。
として
と定義されるとき、 数列
は e に収束する。
e − はほとんど整数である。 e − = 19.99909997918947…
関連項目 ゲルフォント＝シュナイダーの定理 無理数 超越数 :en:Mathematical coincidence（数学的偶然の一致）
外部リンク