数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、一般四元数環の一般化。
定義 可換体 上の多元環 が巡回多元環であるとは、それが 上 -次の正規単純環であって、かつ -次の巡回部分体を持つときに言う。
具体的に、体の 次巡回拡大 に対し、そのガロア群 の生成元を とし、 をとる。, の定める 上の巡回多元環 は、 個の文字 を基底に持つ 次元 -ベクトル空間 ( は直和) を台となる線型空間とし、 に乗法を一般の元
に対して
と定めたものである。これは に対する以下の二条件 指数法則 を満たす。 に対し交換則 を満たす。 を線型に拡張したものとして与えられる。特に、 は の乗法単位元（したがって、）。また、 は の元を動かさない の非自明な自己同型であるから、 の元は と可換。これにより が 上中心的であることが従う。
性質 次巡回拡大 から定まる 次巡回多元環の 上の次数は である。 巡回多元環 は 上の中心的単純環で で分解する。すなわち、次巡回多元環 と との -多元環のテンソル積は 上 次の全行列環 に -多元環同型: である。 の標数が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 は -型四元数環である。ただし、 は の平方元でなく、 は を満たす -同型。
巡回多元環 は適当な に対して となるとき行列環 に同型である。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division algebra) と呼ばれる。 二つの巡回多元環 , が同型となるための必要十分条件は、 の適当な元 が存在して と書けることである。 巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である。 体の分離拡大に関するブラウアー群（あるいは拡大のガロワ群の, ）の元（ブラウアー同値類）の代表元として接合積（とくに巡回多元環）がとれる。(see also: :en:Brauer group#Cyclic algebras)
一般化 巡回多元環は、2-コサイクル（）に対する (crossed product algebra) と呼ばれる多元環に一般化される（巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である）。接合積は群環の一般化でもある。
注
注釈
出典
参考文献
関連文献