は、元を一つも持たない集合であるp.24 より引用。。
概要 集合とは、素朴には一定の決まりに従っている数学的な対象の集まりのことであるが、集合論の議論をする上で「何も含まない集まり」「何も集めていない集まり」を集合の一つと考えた方が自然である。この何も含まない集合 {} が空集合である。「……の集合」という文章において、「……」を該当するもののない条件（4で割り切れる奇数、10より大きい負の数など）とすれば、この集合は空集合になる。集合を袋にたとえる場合に、空集合は空の袋に相当する。
公理的集合論において、空集合の存在は、公理として定められる場合と、他の公理置換公理や分出公理。から導かれる場合がある。
定義
口語的定義 空集合はいかなる元も持たない集合である。
公理的定義
空集合は空集合の公理を満たす集合である。
記号 空集合を表す記号として、∅ 、 または {} がある。このうち初めの2つは、ブルバキが数学原論の最初の巻『結果の要約』(fascicule de résultats, 1939年、日本語版：集合論 要約) で Ø を用いたのが始まりであるEarliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic の2014-02-07版（2015-12-23閲覧）。
記号 ∅ はノルウェー語などで用いられるアルファベット Ø（ストローク符号付きO）に由来している。アンドレ・ヴェイユはブルバキを引退した後、1991年に出版した『修業時代の思い出』(Souvenirs d'apprentisage) において、ブルバキ内部でノルウェー語を知っていたのは自分だけで、そのアルファベット Ø を空集合の記号として提案したことを回想している。
形の似ているギリシャ文字のφ, Φ（ファイ）、キリル文字のФ, ф（エフ）および ⌀（直径記号、まる）、斜線付きゼロ、その他似た文字とは全く関係がない。ギリシャ文字の Φ で代用することもあり「ファイ」と読まれることもあるがΦとは無関係である。
性質 一意性 空集合は一意に定まる。
Z公理系においては、空集合公理と外延性公理より空集合は常にただ一つだけ存在すると証明される外延性公理で とした で左項が真なら証明終了。空集合の公理で とすると になり、全ての が元でないため の左項が真となり は真になる ∎。すなわち、区別できる空集合は存在しない（ を満たす空集合 は存在しない）。なお、他の公理から導かれる場合がある。
この一意性により定数記号 を集合論の言語 へ（糖衣構文的に）導入することが多い（記号のバリエーションは #記号 を参照）。
他の性質
全ての集合は空集合を部分集合として含む：任意の集合 A に対し、∅ ⊆ A である。何故なら、任意の集合 A に対し、命題「」は常に真だからである（空虚な真参照）。特に とすれば、 が成り立つことも分かる。 どんなものであれ、空集合に元として含まれることはない。
空集合の部分集合は空集合自身のみである。
空集合の元の数は0である。 |∅| = 0. どんな集合 A についても、A と空集合 ∅ の和集合は A に等しく、A と ∅ の共通部分や直積は ∅ に等しい： A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A × ∅ = ∅ = ∅ × A. 空集合を定義域とする写像は、終域を定めるごとに唯1つ定まり、且つ単射である。特に、終域も空集合である場合 は全単射となる（空写像の項を参照）。 集合族 の添字集合 が空集合 であるとき和集合は である。また集合族 がある集合 の部分集合からなり、その添字集合 が空集合 であるとき共通部分は である。
空集合の文字コード 記号 ∅ は、UnicodeではU+2205、JIS X 0213では1-2-39のコードが定められていて、ラテン文字の Ø や直径を表す記号 ⌀ とは区別される。HTMLにおける実体参照では ∅ と記述する。ASCII や ISO 8859 ではこの記号は定義されていない。
記号UnicodeJIS X 0213文字参照名称
∅ や の活字・フォントが無い場合に組版のため Φ で代用する。
脚注
注釈
出典
参考文献
関連項目 空関数 形而上学的ニヒリズム 単集合