標準偏差

350px|thumb|平均は同じであるが標準偏差が大きく異なるデータのヒストグラムの例。赤のデータの方が標準偏差が小さく、確率変数値が平均近くに集中する。 350px|thumb|平均 , 標準偏差 の正規分布において、 の間に属する確率変数値は約 68% である。 とは、データや確率変数の、平均値からの散らばり具合（ばらつき）を表す指標の一つである。偏差ベクトルと、値が標準偏差のみであるベクトルは、ユークリッドノルムが等しくなる。

標準偏差を2乗したのが分散であり、従って、標準偏差は分散の非負平方根である。標準偏差が であることは、データの値が全て等しいことと同値である。

表す文字は、母集団や確率変数の標準偏差は 、標本標準偏差は などとすることが多い。

二乗平均平方根 (RMS) を用いると、標準偏差は偏差の二乗平均平方根に等しくなる。

概要 データ の平均値からの散らばり具合を数値にした標準偏差は、次の式で定義される：

ここで は平均値を表す。この定義は、データを数ベクトルと見て、「散らばり具合」を偏差ベクトルのユークリッドノルムととらえる考えに基づく（このことより平均偏差でなく自乗平均をとる）。 もとのデータ を、平均値、「散らばり具合」を変えず、偏差が全て同じであるように取り直したデータ を考える。 の大きさが奇数のときは、 を、自分自身2個を併せたデータ（大きさは偶数）に取り直す（そうしても平均値、「散らばり具合」は変わらない）。 の偏差ベクトルは の形になる。 と の「散らばり具合」が等しいことから、

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標準偏差は平方根を取るため、簡単な計算法則が成り立ちにくいという特徴がある。そこで分散 を

で定義する。分散には簡単な計算法則がいくつか成り立つことから、種々の標準偏差ができるようになる。

標準偏差の概念は、イギリスの統計学者フランシス・ゴルトンにより、親子の身長の相関関係を調べる中で初めて見出された高校からの統計・データサイエンス活用 総務省政策統括官（統計基準担当）p.34。データを数ベクトルと見る考え方は相関係数の導入と命名につながった。ゴルトンはこれらの研究により平均への回帰という現象を見出した平均への回帰、相関係数―統計学史(2) ブログ 統計WEB。

ユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンのゴルトン研究室を継承した農環研ウェブ高座 「農業環境のための統計学」 第10回 (農業と環境 No.158 2013.6)カール・ピアソンはゴルトンの研究を定式化、体系化し、初めて "standard deviation"（「標準偏差」）と名付けたカール ピアソンとは - コトバンク【科学史の肖像】Karl Pearson, 1857-1936標準偏差の名付け親は，相関係数で有名なピアソン，不偏標準偏差の話題と共に 生物科学研究所 井口研究室。

確率分布において最も基本となる正規分布曲線において、変曲点の 座標と平均の絶対差は標準偏差に等しくなる。このことから、標準偏差は信頼区間の基本的な単位となる。

日本の受験業界で広く使われている学力偏差値は標準偏差の応用例の一つで、異なる試験でも、平均点よりどれだけ離れているかをある統一した尺度でとらえることができるようになっている。

金融工学においては、株式のリスクを確率分布の標準偏差でとらえることがある分散投資の意義② 投資のリスクとは|年金積立金管理運用独立行政法人標準偏差・分散｜証券用語解説集｜野村證券。

母標準偏差 母集団の要素にはそれぞれ、ある特性を表す値が割り当てられているとする。それらの値全体（一般にはデータ） に対して、平均値 は次の式で定義される：

母集団の平均値を母平均と言う。

この平均値 からの散らばり具合を計算するための量として、分散 を次の式で定義する：

母集団の分散を母分散と言う。

この分散の非負平方根 を、標準偏差と定義する。母集団の標準偏差を母標準偏差と言う。

分散もデータの散らばり具合を表す統計量であるが、分散と違い標準偏差はデータの値と次元が等しくなる。偏差は平均的には標準偏差の分だけ離れていると考えることができる。

標本標準偏差 定義 母集団の中から、大きさ （母集団の大きさよりはるかに小さい）の標本 を抽出したとする。標本平均とは、標本というデータの平均値のことであり、次の式で表される：

同様に、標本分散とは標本というデータの分散のことでありしたがって、引く平均値は標本平均であり、母平均を引くのではないことに留意する。、標本平均を用いて次の式で表される：

標本分散の非負平方根 を標本標準偏差と呼ぶ。

不偏分散 大きさ の標本の標本分散 の期待値 は、 母分散 を用いると

と表されることが示される。よって、標本分散は期待値が母分散よりも少し小さくなり極端な例として、標本の大きさが の場合、ばらつきがないので標本分散は必ず となるが、母集団のばらつきは通常 ではない。、母分散の不偏推定量ではない。そこで、 のとき、標本分散の代わりに

を計算すると、この量の期待値は母分散に等しくなり、母分散の不偏推定量である。

こうして定義した を不偏分散という。 は「不偏標準偏差」と呼ばれることもあるが、この は、母標準偏差の不偏推定量でないことに注意する必要がある。

紛らわしいが、 を「標本分散」と呼ぶこともある。さらに の非負平方根 を「標本標準偏差」ということもある。名称の混乱については後述する。

母標準偏差の不偏推定量 前節の通り、不偏分散の非負平方根 を取っても、母標準偏差の不偏推定量ではない。

母集団が正規分布に従うときは、標本の大きさを 、不偏分散を とすると、母標準偏差の不偏推定量 は次の式で与えられる：

ここで、 はガンマ関数である。

標本の大きさ が大きくなれば、母集団の標準偏差の不偏推定量 は、近似的に、平均からの偏差平方和を で割った値の非負平方根として求められる：

母標準偏差の一致推定量 母集団が正規分布に従うときは、母標準偏差を 、標本の大きさを 、標本標準偏差を とすると

が成り立つ。ここで、1つ目の不等号は、ガンマ関数の定積分による定義式より【徹底解説】ガウスによるガンマ関数の無限乗積表示 | Academaid 2022年2月21日渡邉俊夫、鹿児島大学工学部 カイ2乗分布.pdf p.31、2つ目の等号はイェンセンの不等式より清水団 標本標準偏差の期待値は母標準偏差に等しいのか？ Zenn 2025/12/21成り立つ。これより

すなわち標本標準偏差 は一致推定量であるがこれは一般に、母集団が正規分布に従わなくても成り立つ。

名称の混乱 統計学の書物によっては、不偏分散（標本平均からの偏差平方和を で割った値）を「標本分散」と呼んでいる場合もあり例：。、用語が混乱して使用されている場合がある。母平均が不明で、代わりに標本平均を使用する場合には、期待値が母分散となる不偏分散を使用することが多い分散または標準偏差の図による解説と具体例は、などを参照。。

さらに、不偏分散（分母が の方）の非負平方根については先述した通り、母標準偏差の不偏推定量ではないため、世界的に最善といえる呼び名で統一されてはいないのが現状である。

英語 英語では不偏分散（分母が の方）の非負平方根のことを （標本標準偏差）と呼ぶことが多い。この語はカール・ピアソンによって1893年に導入された。ただし不偏分散による標準偏差を意味する英語の表現には混乱がある。 英語版ウィキペディアの "" という記事では、不偏分散の非負平方根のことを と表記し、標本平均からの偏差平方和を で割った値の非負平方根を や と表記している。 アメリカの の試験問題での「」は で割る方を意味する。 アメリカ・ユタ大学のトム・マロイは、統計学の学習者向けウェブページ「Estimating Parameters Web Page」では、 を、平均からの偏差平方和を で割った値の非負平方根だと解説している。

日本語 日本語の「不偏標準偏差」という語にも混乱がある。日本の大学教授の間でも、不偏分散 の非負平方根を「不偏標準偏差」と教える大学教員も多いが、母標準偏差の不偏推定量 を不偏標準偏差だと教える教員もいる。 兵庫大学の河野稔によるウェブページ「健康統計学-散布度」や神戸大学の中澤港によるウェブページ「高崎経済大学非常勤講義 第4回「記述統計(2):代表値」」では前者である。 東北学院大学の根市一志による資料「標準偏差の不偏性」では後者である。 このように、同じ用語でも話者によって定義が異なる場合がある。

表計算ソフト 表計算ソフトでは次のようなワークシート関数が用意されている。 分母Microsoft ExcelGoogleスプレッドシートLotus 1-2-3STDEVP, STDEVPA, STDEV.P-STDEV, STDEVA, STDEV.S@STD, @STDS

確率変数の標準偏差 離散型確率変数 を離散型確率変数とする。 のとりうる値を とし、 が をとる確率を で表す。このとき

である。このとき

を確率変数 の期待値という。また、

を確率変数 の分散という。この分散の非負平方根を標準偏差という。

連続型確率変数 を連続型確率変数とする。 の値が区間 に属する確率が、連続関数 を用いて

と表せるとき、 を の確率密度関数という。このとき

である。このとき

を確率変数 の期待値という。また、

を確率変数 の分散という。この分散の非負平方根を標準偏差という。

母標準偏差の推定 母集団が正規分布に従うときは、母標準偏差を（母平均すらも未知でも）、標本標準偏差だけから区間推定することができる。母標準偏差を 、大きさ の標本の標本標準偏差を とすると、次の式は確率変数として、自由度 の カイ二乗分布に従う：

母標準偏差 の信頼区間は自由度 にも依存し、 の確率密度関数は左右対称でないため、上からと下からの確率変数値が必要であることに注意する必要がある。

例えば、 の95%信頼区間は、 を満たす から、 を満たす までの範囲で、 と の比は、標本の大きさ だと 、 だと となり、標本が小さいとかなり範囲が広いことに留意すべきである。

信頼区間信頼度不信頼度百分率百分率分数25%75%50%50%68%32%1%%80%20%90%10%95%5%2%%99%1%3%%99.9%0.1%99.99%0.01%4%%99.999%0.001%4.5%% = %%5%%%%%%6%%%%%%%%7%

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 統計学 統計量 分位数 偏差 分散 (確率論) 偏差値 二乗平均平方根 (RMS) 標準誤差 (SE) 正規分布 リスク

外部リンク