最大値最小値定理

初等解析学における最大値・最小値の定理または最大値の定理（さいだいちのていり、; 極値定理）は、実数値函数 f が空でない有界閉区間上で連続ならば f は最大値および最小値にそれぞれ少なくとも一点で到達することを述べるものである。式で書けば、適当な実数が存在して

が成り立つ。関連する定理として、有界性定理（ゆうかいせいていり、）は、有界閉区間上で連続な函数はその区間上で有界であることを述べる。これは適当な実数が存在して

が満たされるという意味である。最大値定理は、有界性定理における上界と下界の存在を強めて、最小上界を最大値として、および最大下界を最小値として、それぞれ実現する点が定義域内に存在することまでをも主張するのである。

最大値の定理はロルの定理の証明に利用される。また、ヴァイエルシュトラスによる定式化では、最大値の定理は「空でないコンパクト空間から実数直線の部分集合への連続写像は最大値および最小値をとる」と述べられる。

最大値の原理ともいう。

歴史最大値最小値定理は、もともとベルナルド・ボルツァーノが1830年代に「函数論」の研究の中で証明を得ていたものだが、これらの内容は1930年まで公表されていなかった。ボルツァーノの証明は「連続函数が閉区間上有界であること」と「函数が最大値および最小値に到達すること」を示すことからなる。両証明は今日ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理として知られるものと関係する。後の1860年に、ヴァイエルシュトラスによって最大値最小値定理は再発見され、（連続函数に関する）ヴァイエルシュトラスの定理、ヴァイエルシュトラスの最大値定理などとしても知られる。

定理の適用外となる函数定理を用いるには定義域が有界かつ閉であることが必要であることを示す例を挙げる。何れも与えられた区間において最大値を持たないものである。

上に非有界な定義域を持つ函数は上に有界でない。上に非有界な定義域を持つ函数は有界だが、上限であるを値にとる点が存在しない。閉でない定義域を持つ函数は上に有界でない。閉でない定義域を持つ函数は有界だが、上限の値をとる点が存在しない。

上記例の後二者においてと定めることで、定理において閉区間上で連続であることが要求されることが理解される。

位相空間論における定式化実数直線を任意の位相空間へ取り換えるとき、有界閉区間に対応するものはコンパクト空間である。位相空間論において、連続写像がコンパクト性を保つこと、および実数直線の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件がそれが有界閉区間となることであることは既知である。従って以下のような極値定理の一般化定理空でないコンパクト空間上で定義された実数値連続函数は上に有界であり、その上限を達成する。が導かれる。もう少し一般に、このことは上半連続函数に対して成立する

定理の証明証明にあたってはの上界の存在と最大値について調べることになる。そうすれば、その結果を函数に適用しての下界の存在と最小値についての結果を得ることができる。証明は全て実数直線に関する文脈の中で行われることにも注意。

最大値定理の証明においてはその途中段階として有界性定理をまず証明する。証明は基本的に次のような段階を踏んで行う：有界性定理を証明する。像がの上限に収斂するような点列を得る。得られた点列の部分列で、の定義域に属する点へ収斂するものがあることを示す。連続性を用いて、得られた部分列の像がの上限へ収斂することを示す。

有界性定理の証明連続函数が有界閉区間上で上に有界でないとすると、各自然数に対して点をとなるものが取れるから、数列 } が作れる。区間は有界ゆえ、ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理から } の収斂部分列 } が取れることが従い、いまその収斂先をとすると区間が閉ゆえはこの区間に属する。はで連続であるから（はにおいてで）部分列 {f(xnk)} は実数へ収斂しなければならないが、が任意のについて成り立つことからは正の無限大へ発散することが従うから、これは矛盾である。従っては有界閉区間において有界である。最大値定理の証明有界性定理によりは上に有界ゆえ、実数のからの最小上界（上限）が存在するから、M = f(d) を満たす点を見つければよい。自然数に対して、が最小上界ならばはの上界にはならないから、適当なが存在してとできる。これにより点列 } が作れる。最小上界はの上界なのだから、任意のについてが成り立ち、従って数列 } はへ収斂する。ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理により、適当なに収斂する部分列 } が存在して、区間が閉ゆえ d はに属する。はにおいて連続だから、数列 } はに収斂するが、数列 } はに収斂する数列 } の部分列ゆえ、でなければならない。従ってはにおいて上限に到達する。

別証最大値定理の別証明像集合 } は有界であるから、実数直線に関する上限性質により上限を持つ。f(x) = M を実現する x が存在しないと仮定すると、区間上で常に , 従って 1/(M − f(x)) はで連続である。しかし M は上限ゆえ、任意の正数 ε に対して適当なを選べばとすることができるから、, 即ち 1/(M − f(x)) は有界でない。有界性定理により有界閉区間上の連続函数は有界であるから、これは 1/(M − f(x)) が区間上で連続であったことに矛盾する。従って、f(x) = M を満たす点が存在しなければならない。超実数によるアプローチ超準解析での設定において、を無限大超整数とし、区間は超実数に関するものへ自然延長する。この区間をを区分点として無限小長さがに等しい個の小区間へ分割することを考え、また函数を以上以下の超実数上で定義される函数へ延長する。標準の設定（が有限）のとき、常に個の点の中からによる値が最大となる点が選べることが帰納法で示されることに注意すれば、によってなる超整数で、を満たすものが存在することが言える。をとして（標準）実数点をとる。任意の実数点は先の分割の適当な小区間に属すから、それをとすると、であり、先の不等式にを適用してが成り立つ。またの連続性によりが成り立つ。以上から、任意の実数に対してとなり、がの上限を与える。も参照。

半連続函数への定理の拡張函数の連続性を半連続性に弱めると、それに対応して有界性定理および最大値最小値定理は（函数は補完数直線に値をとるものとして、つまり函数値としてあるいはとなることを許して）半分だけ成立する。明確に書けば、

（上方有界性および最大値）定理函数が上半連続、即ち任意のについてを満たすならば、は上に有界で、かつその上限に到達する。（下方有界性および最小値）定理函数が下半連続、即ち任意のについてを満たすならば、は下に有界で、かつその下限に到達する。

後者はに前者を適用すればよいから、前者を示せば十分である。任意のに対してならば、上限もで定理は成り立つ。それ以外の場合には、上記の証明を少し修正することで証明が得られる。有界性定理の証明において、のにおける上半連続性からは、部分数列の上極限がで上から抑えられることしか言えないが、矛盾を得るにはそれで十分である。最大値定理の証明においては、のにおける上半連続性からは部分数列の上極限が有界であることによって上から抑えられることがわかるが、それで上限に対してが成り立つことを言うのには十分である。

実数値函数が上半連続かつ下半連続であることと、それが通常の意味で連続であることとは同値であるから、上記二つの定理から、有界性定理と最大値最小値定理が導かれる。

参考文献

最大値最小値定理

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