四分位数

四分位数（しぶんいすう、）は、統計学における分位数の一種。小さい方から昇順に並べられたデータを、0~25%/25%~50%/50%~75%/75%~100%の範囲をそれぞれ表す4つの部分で分割する際に、それぞれの区切りとなる3つの数を指す。この定義から、四分位数は順序統計量であることがわかる。四分位数は以下の3つからなる:

第一四分位数 (だいいちしぶんいすう、) は25パーセンタイルに一致する。データ全体の低い方から25%の値はこの数以下である。下側四分位数()と呼ばれることもある。第二四分位数 (だいにしぶんいすう、) はこのデータの中央値そのものである。よって、この値以下のデータの数は全データ数の50%である。第三四分位数 (だいさんしぶんいすう、) は75パーセンタイルに一致する。データ全体の75%の値はこの値以下となる。上側四分位数()と呼ばれることもある。

データの最小値・最大値(これらも分位数の一種である)とこれらの3つの四分位数でデータの五数要約を構成する。この要約法はデータの中央値と統計的ばらつきに関する情報をもたらすため、統計学において重要な手法である。下側四分位数と上側四分位数がわかっていれば、データのばらつきや歪度に関する情報が得られる。最大値や最小値もデータの散らばりについての情報をもたらすが、下側四分位数や上側四分位数によって特定のデータ点の分布位置、データ内の外れ値の有無、およびデータの中央50％(、四分位範囲()と呼ばれる)と外側のデータ点との間のばらつきの違いについて、より詳細な情報が得られる。

定義サムネイル|分散で特徴付けられる正規分布の箱ひげ図と確率密度関数。記号名称定義Q1第一四分位数

下側四分位数

25パーセンタイルデータの下側25%と上側75%を分離する値Q2第二四分位数

中央値

50パーセンタイルデータの下側50%と上側50%を分離する値Q3第三四分位数

上側四分位数

75パーセンタイルデータの下側75%と上側25%を分離する値

算出方法

離散分布離散分布や離散的なデータに対しては、四分位数の選択方法に関して統一的なルールは存在していない。以下、昇順に並んでいるデータをとして、幾つかの算出方法を示し、それらが具体的なデータに対してどのように四分位数を与えるか(または、それぞれの手法の与える四分位数がどれだけ異なるか)を例示する。

手法1

データの中央値を第二四分位数とする。が奇数の場合、四分位数の計算の上でデータからを取り除く(値がであるようなデータが複数ある場合、それを1つだけ取り除く)。これにより偶数個になったデータを、下側と上側で同数になるように分ける。この結果、それぞれとになる。が偶数の場合、データを下側と上側で同数になるように分離する。この結果、それぞれとになる。 1.の手順で得られた下側・上側のデータそれぞれについて中央値をとり、それぞれとする。

このルールはTI-83計算機の箱ひげ図や"1-Var Stats"関数に実装されている。

手法2

データの中央値をとする。が奇数の場合、の値を持つデータがもう１つあるとした上で、上側と下側とでデータを半分に分ける。結果として、上側・下側に分けられたデータはともにの値を含む。数式で書けば、分けられたデータはととなる。が偶数の場合、手法1と同様にデータを下側と上側で同数になるように分離する。 1.の手順で得られた下側・上側のデータそれぞれについて中央値をとり、それぞれとする。

このようにして得られる四分位数は「テューキーのヒンジ」と呼ばれることもある。

手法3

データの中央値をとする。が奇数の場合は、手順2へ進む。が偶数の場合は、を新しいデータとして追加するかどうか選択する。追加しない場合、手法1及び手法2と同一の手段でを定める。追加する場合、手順2へ進む。この手順に進んでいる段階でのデータの総数は奇数である。改めてを4で割った余りが1か3かを調べる。を4で割った余りが 1 の場合、として、四分位数を及びで与える。を4で割った余りが 3 の場合、として、四分位数を及びで与える。

手法4 を、実数以下の最大の整数を表す関数とする。に対して、がデータの分位数を表しているとした上で、第四分位数を線形補間によって決定する。

具体的には、まずを、

を満たす最大の整数とする。すると、第四分位数は以上の実数であるが、 (である場合を除いて) 未満となる。すなわち、が成立する(右側の等号成立はである場合のみ)。よって、あるに対して

とおける。この手法では、このを次の式に従い決定する:

ここで、はそれぞれの分位数である。よって、この式の意味するところは、第四分位()とそれらの分位数との関係性がととの関係性に等しいという線形補間の条件に他ならない。

これらを解くと、

及び

が得られる。すなわち、はの小数部分に等しい。

具体例1 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49, からなるのデータを考える。

ただし、太字で示されている数値(40)はこのデータの中央値である。手法1手法2手法3手法4Q115(15+36)/2 = 25.5(3*15+36)/4 = 20.2515Q240404040Q343(42+43)/2 = 42.5(42+3*43)/4 = 42.7543

具体例2 7, 15, 36, 39, 40, 41, からなるのデータを考える。

再び、太字で示されている数値(36,39)はこのデータの中央値を計算する際に利用される数値である。手法3では偶数個のデータに対して四分位数を算出する際に、中央値を新しいデータ点として加えたかのように計算するかそうでないかの分岐があるが、ここでは加えたものとして計算した結果を示す(加えなかった場合の数値は手法1,2と同一である)。手法 1手法 2手法 3手法 4Q11515(3*15+36)/4 = 20.257+3/4*(15-7) = 13Q2(36+39)/2 = 37.5(36+39)/2 = 37.5(36+39)/2 = 37.536+1/2*(39-36) = 37.5Q34040(39+3*40)/4 = 39.7540+1/4*(41-40) = 40.25

連続確率分布の場合サムネイル|四分位数は、累積分布関数を基に計算される。値として実数を取る連続確率変数を考える。今、の累積分布関数(CDF)は

で定義される。すなわち、確率変数があるに対して、それ以下の値を実現させる確率として定義される。したがって、はそれぞれ, , を実現させるの値に等しい。累積分布関数の逆関数である分位関数をで表すならば、のときのの値がそのままとなる。

外れ値

統計学および統計分析の分野には、外れ値を確認するための手法がいくつか存在する。外れ値は、興味のある過程において平均値や分散がシフトした結果かもしれないし、何らかの汚染が母集団にあることの証拠である可能性もある。そのため、記述統計量の基本的な考え方通り、外れ値に遭遇した場合は、その原因や発生源をさらに分析することでその値を説明しなければならない。極端な観測値が見られる場合(これは決して珍しいことではない)、典型的な値を分析しなければならない。で定義される四分位範囲(IQR)はデータを歪める極端な観測値が含まれているかどうかを判定するツールになりうる。これは、IQRが標準偏差や範囲といった指標に比べて的であることに由来する。

外れ値の判定基準となる「フェンス」を決定するための数学的な手法も存在する。四分位数の算出により、をすべて算出したとする。そうした場合、以下の式で与えられる「フェンス」を考えることができる:

サムネイル|外れ値を含む箱ひげ図。

これらのフェンスを設定した場合、フェンスよりも外側にある観測点(下側フェンスよりも低い観測点、または上側フェンスよりも高い観測点)は外れ値とみなされる。箱ひげ図においては、フェンスの外側にある外れ値と上下のフェンスが一緒に表されるのが一般的である。

四分位範囲や箱ひげ図の特徴を計算してデータセット内の外れ値を見つけた場合、それらが誤って解釈されてしまい、例えば母集団が正規分布していない証拠、あるいは標本に不純物が混入している証拠とされることもある。しかし、フェンスによる外れ値の特定は母集団の正規性を判断するための仮説検定に代わるものではない。例えば、標本サイズが小さい場合、四分位範囲が代表性を欠くほど小さくなり、四分位範囲の幅が狭くなる可能性が高くなる。結果として、外れ値としてマークされるデータが見つかる可能性が高くなる。

コンピュータソフトによる四分位数の計算関数 +環境関数算出方法Microsoft ExcelQUARTILE.EXC手法4Microsoft ExcelQUARTILE.INC手法3TI-8X series calculators1-Var Stats手法1Rfivenum手法2Rquantile (default)手法4Pythonnumpy.percentile手法4(ただしの扱いが異なる)Pythonpandas.DataFrame.describe手法3

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