素数が無数に存在することの証明（そすうがむすうにそんざいすることのしょうめい）は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理（ユークリッドのていり、）と呼ばれる。
ユークリッド 『原論』第9巻命題20成立当初の原論には本定理が書かれておらず、本定理の記述は後から追加されたものである可能性がある。参考: エウクレイデス全集 第2巻、齋藤憲訳、東京大学出版会、pp. 39, 263、2015で、素数が無数に存在することが示されている。その証明は、次の通りであるD. E. Joyce による英語訳。日本語訳には中村幸四郎らによる訳がある。。なお「任意」は誤訳と思われる。
この証明は、しばしば次のような背理法の形で表現される。 素数の個数が有限と仮定し、 が素数の全てとする。その積 に を加えた数 は、 のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無限に存在する。 この形の証明のために、「ユークリッドは、背理法で素数が無数にあることを証明した」「ユークリッドの証明は、存在のみを示しており、具体的な構成の手続きを示していない」「ユークリッドは、最初のいくつかの素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、いずれも正しくないHardy and Woodgold, p. 44。『原論』の証明は背理法ではなく、であるによるものである。また、最後の主張は「 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 = 30,031 」という反例により、歴史的にのみならず数学的にも誤りである。
1878年、クンマーは、 の代わりに を考えても、同様に証明できることを注意したRibenboim, 第1章。
ゴールドバッハ ゴールドバッハは、1730年7月にオイラーに宛てた手紙の中で、フェルマー数
を利用して、素数が無数にあることを証明しているC. K. Caldwell, Goldbach's Proof of the Infinitude of Primes (1730) - Prime Pages。
フェルマー数たちが互いに素であることが示されれば、無数にあるフェルマー数の素因子を考えることにより、無数に素数を得る。実際、 に関する数学的帰納法により、簡単に
が得られるので、ある素数 が2つのフェルマー数を割り切るとすると、 は も割り切ることになって不合理である。
オイラー オイラーによる証明Aigner and Ziegler, 第1章は、リーマンゼータ関数のオイラー積表示を用いたものである。
素数は有限個の からなると仮定する。各素数 に対し、等比級数の公式により
が成り立つ。 における両辺の総乗を取ると、任意の自然数は素数の積として一意に表せる（算術の基本定理）ことより、
を得る。左辺は有限値であるのに対し、右辺は調和級数であり、発散するので、矛盾する。
エルデシュ 素数の逆数和は（無限大に）発散することが示されば、素数は無数に存在することが直ちに従う。素数の逆数和が発散することは、オイラーが初めて証明したが、以下はエルデシュが1938年に発表した、より簡潔な証明である。
素数の逆数和は収束すると仮定する。 番目の素数を で表すことにすると、ある番号 が存在して
である。素数全体を2つのグループに分け、 を「小さい」素数、 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を 、後者の個数を とおく。当然 である。
以下、 と の大きさを見積もる。 以下の の倍数の個数は、床関数を用いて
と表せるから、
を得る。ここに、最後の不等号は上記の仮定から従う。次に、 を小さい素数でしか割れない 以下の自然数とし、（ は平方因子を含まない） と表す。 の可能性は高々 2 通りであり、 であるから、
を得る。よって、
となる。しかし、この式は に対して成り立たない。
フュルステンベルグ フュルステンベルグの証明は、トポロジーを用いたものである。彼は、まだ学部生であった1955年に、証明を発表した。
整数全体からなる集合 に、両方向への無限等差数列
（ただし、 は整数で、）全体を開基とする位相を定める。換言すれば、この位相における開集合は、（空集合であるか）任意個の無限等差数列の和集合である。このとき、空でない有限集合は開集合ではないことに注意する。
任意の無限等差数列は、開集合であると同時に、
という表示により、閉集合でもある。 が素数全体と仮定すると、
は有限個の閉集合の和集合であるから閉集合である。したがって閉集合 の補集合 は開集合である。ところが 以外の任意の整数は何らかの素数で割り切れるから、 である。これは空でない有限集合であるため開集合ではなく、矛盾が生じる。
が無理数であることを使った証明
ライプニッツの公式をオイラー積の形で表すと.
この積の分子は奇素数であり、分母はそれぞれに対応する分子に一番近い の倍数である。もし素数が有限個ならば は有理数として表すことができる。しかし は無理数なので、背理法より素数は無限に存在する。
サイダック 現代においても、新たな証明が次々に提案されている。その中でも、2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明は非常に簡潔であるC. K. Caldwell, Filip Saidak's Proof - Prime Pages。
は以上の整数とする。 と は互いに素 なので、 は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、 と は互いに素なので、 は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。
脚注
参考文献 中村幸四郎他訳『ユークリッド原論』共立出版、1996年 ISBN 978-4320015135 M. Aigner and G. M. Ziegler, Proofs from the Book, 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 978-3540404606 蟹江幸博訳『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年（2nd edition の訳）ISBN 978-4431709862 Paulo Ribenboim, The Book of Prime Number Records, Springer, 1988 ISBN 978-0387965734 吾郷孝視訳『素数の世界』共立出版、1995年 ISBN 978-4320014848 G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition, Oxford University Press, 1980 ISBN 978-0198531715 示野信一、矢神毅訳『数論入門Ⅰ』シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年 ISBN 978-4431708483 M. Hardy and C. Woodgold, Prime Simplicity, Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, 2009, 44-52.
関連項目 素数階乗素数 素数定理
外部リンク
C. K. Caldwell Proofs that there are infinitely many primes - Prime Pages. R. Mestrovic, Euclid's theorem on the infinitude of primes: a historical survey of its proofs (300 B.C.-2012) and another new proof, Arxiv preprint arXiv:1202.3670, 2012