ベル多項式

組合せ数学におけるベル多項式（ベルたこうしき、）とは、エリック・テンプル・ベルの名に因む、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。

ただしこの和は、

を満たすすべての非負整数の列について取られている。

完全ベル多項式次の和

はしばしば n 次完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。

完全ベル多項式は次の等式を満たす。

組合せ論的な意味例例えば、次が得られる。

なぜならば 6 の集合を 5 + 1 に分割する方法は 6 通り 6 の集合を 4 + 2 に分割する方法は 15 通り 6 の集合を 3 + 3 に分割する方法は 10 通りだからである。同様に

が得られる。なぜならば 6 の集合を 4 + 1 + 1 に分割する方法は 15 通り 6 の集合を 3 + 2 + 1 に分割する方法は 60 通り 6 の集合を 2 + 2 + 2 に分割する方法は 15 通りだからである。

性質

スターリング数ベル多項式 B(x,x, …) のすべての x が 1 に等しいときの値は、第二種スターリング数である。すなわち

である。

畳み込みの等式数列に対し、ある種の畳み込みを次のように定める。 . ここで直和の上下限は 0 と n ではなく、1 と n− 1 であることに注意されたい。

を次の列の第 n 番目の項とする。

このとき、次が成り立つ。

例えば、を計算する。このとき

であるため、

となる。

ベル多項式の応用ファー・ディ・ブルーノの公式

ベル多項式を用いることで、は次のように書き表すことができる。

同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。今

とすれば、

となる。特に、完全ベル多項式は、形式的冪級数の指数関数の中に、次のように現れる。

モーメントとキュムラント次の和

は、初めの n 個のキュムラントが κ, …, κ であるような確率分布の n 次モーメントである。言い換えると、n 次モーメントとは初めの n 個のキュムラントによって評価される n 次完全ベル多項式である。

二項型の多項式列による表現任意のスカラー列 a, a, a, … に対し、次を定める。

このとき、この多項式列は二項型多項式列である。すなわち、二項等式

が n ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。定理すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。今

とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての n に対し

が成り立つ。

ソフトウェアベル多項式、完全ベル多項式および一般化ベル多項式は、Mathematicaにおいては BellYBellY で、Maple においては BellBBellB で、Sage においては bell_polynomialbell_polynomial で計算することができる。

脚注

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