-類似（きゅーるいじ、）とは、理論に の極限で、元の理論に一致するように径数 を導入するような拡張のことをいう。-拡張（）などとも呼ばれる。
そのような拡張は何通りも考えうるが、-数や、-微分や-積分を用いる-解析学の定義に基づいた拡張が一般的に用いられ、解析学や組合せ論、特殊関数、量子群などの分野に応用されている。
概要 -数 最も基本的な -数 （-整数や-ブラケット（）とも呼ばれる）とは、自然数 の -類似であって、 の極限で となるように
と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、 で不変な
あるいは
と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の -階乗や-二項係数は -数を用いて同様に定義される。
-階乗 また-階乗 （）は、-数によって
と定義される。ただし は-ポッホハマー記号を表す。
このとき を 次の対称群、 を置換 の転倒数として、
が成り立つ。これは の極限で、通常の階乗 が 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 上の一般線型群 の位数は
と表せる。
-二項係数 -二項係数（）は、二項係数の -類似で、
によって定義される。 が素数のべきのとき、-二項係数は有限体 上の 次元線型空間内における 次元部分空間の数に等しい。
より一般に -多項係数は のとき
によって定義される。 このとき
のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。
-二項定理
-二項定理は、二項定理の-類似であり、
について、とするとき、
によって定義される。
これは、後述の-超幾何級数を用いて、
と表すことができる。
また、-二項係数を用いて、
と表すこともできる。
-ポッホハマー記号
-ポッホハマー記号（，-シフト因子，-シフト階乗とも呼ばれる）は、ポッホハマー記号（昇冪）の-類似であり、-類似の計算において頻繁に現れ、有限積あるいは無限積を簡略化して表記するために用いられる。
によって定義され、有限積については、
と定義される。とくにのときは、
が成り立つ。
第二引数（基底と呼ばれる）がのときは、と略記され、複数の引数を持つ-ポッホハマー記号は、と分解される。
以下のように の極限を求めれば、ポッホハマー記号に一致する。
-解析学
-微分 -微分（-差分とも呼ばれる）は微分の -類似で、任意の関数 について -微分を
によって定義する。さらに導関数の -類似である -導関数は
によって定義されるFUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32。
-導関数を求める演算は線形性を持つが、ライプニッツ則は の極限のみで成り立つ。
その他にも、以下のような性質が知られている。
-積分 -積分（）は、積分の-類似であり、不定積分は、
によって定義され、定積分は、
によって定義される。
-積分は-微分の逆演算であり、
となることからも確かめられる。
初等関数の-類似 -指数関数 -指数関数は、指数関数の-類似であり、
によって定義され、次のような同値の定義が用いられることもある。
指数関数の導関数が指数関数であるのと同様に、
が成り立つ。
とくに、可換性を持たず、を満たすような量子平面上の変数について、次のような指数法則が成り立つことが知られている。
-対数関数 -対数関数は、対数関数の-類似であり、
によって定義されるが、これは-指数関数の逆関数ではなく、これとは異なる定義も複数存在する。
また、で用いられる-指数関数および-対数関数は、-類似とは全く異なる点に注意が必要である。
-三角関数 -三角関数は、三角関数の-類似であり、-指数関数を用いて、
によって定義され、通常の三角関数と同様に正接、余接、正割、余割関数の-類似も定義される。
また、テータ関数を用いた次の定義も存在する。
特殊関数の-類似 -ガンマ関数 -ガンマ関数は、ガンマ関数の-類似であり、
によって定義される。
通常のガンマ関数のように、
が成り立ち、またが自然数のとき、
が成り立つ。
その他にも、以下のような性質が知られている。
また、-ベータ関数は、ベータ関数の-類似であり、-ガンマ関数を用いて、
と定義される。
さらに、-円周率は、円周率の-類似であり、
によって定義される。
-ポリガンマ関数 -ポリガンマ関数は、ポリガンマ関数の-類似であり、-ガンマ関数を用いて、
によって定義され、以下のような性質が成り立つことが知られている。
また、-オイラー定数は、オイラー定数の-類似であり、-ポリガンマ関数を用いて、
と定義される。
-超幾何級数
-超幾何級数は、超幾何級数の-類似であり、
によって定義される。
とくに、ガウスの超幾何関数の-類似は、
によって定義される。
脚注 出典
参考文献
関連項目 一元体
qポッホハマー記号 q二項定理 q超幾何級数
外部リンク