冪零群

群論における冪零群（べきれいぐん、）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらにでさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者の業績に帰せられる。

冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。

定義

考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか（したがってすべて）を満足するときに言う:

有限の長さのを持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列であって、あるいは同じことだがとなるものである。が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、およびによって定まる正規部分群の系列でとできる。が有限の長さでもとの群に到達する。すなわち、およびはなるの部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列でとできる。冪零群に対して、が長さの中心列を持つとき（定義により、長さを持つとは中心列に自明群と自身を含めて個の部分群が並ぶときに言う）、そのようなの最小値をの冪零度 (nilpotency class; 冪零性の等級) と呼び、または冪零度の冪零群であるという。の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。

冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる

例

既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である。小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル -群である四元数群を挙げることができる。その中心は位数のであり、昇中心列が得られるから、これは冪零度の例ということになる。実は任意の有限 -群が冪零である。位数の -群に対し、最大の冪零度はである。冪零度最大の -群は、四元数群、二面体群あるいはの一般化と考えられる。二つの冪零群の直積はまた冪零である。逆に、任意の有限冪零群は -群の直積になる。ハイゼンベルク群は非アーベル無限冪零群の例である。任意の体上の -次（単上三角行列）全体の成す乗法群は、冪零度のである。上の -次は一般には冪零群でない（が、可解群ではある）。

用語の説明冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度の冪零群に対して、その元の定める作用がに依らず回反復合成で自明となる（ここで、はの交換子である）。

これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、（既にみたように冪零度の）随伴作用素全体の成す群は -次と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの（-次エンゲル群）になっている。

性質昇中心列の連続する部分群による各剰余群はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。

冪零度の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々である。加えて、が冪零度の冪零群上の準同型ならば、の像は冪零度高々の冪零群になる。

有限群に対して以下は同値であり、冪零性の有効性が顕わになる: (a) は冪零群である。 (b) 正規化性質: がの真の部分群ならば、は（のにおける）正規化群の真の正規部分群になる。 (c) の任意のシロー部分群は正規部分群である。 (d) はそのシロー部分群の直積である。

最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる: 命題が冪零群ならば、の任意のシロー -部分群は正規であり、それらシロー部分群の直積はにおける位数有限な元全体の成す部分群に一致する。

冪零群の性質の多くはと共通している。

注注釈

出典

参考文献

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