拡大 のいくつかの性質は合成体への拡大 に持ちあがる。その様子はあたかもそれらが平行四辺形を成すようである 数学における体の合成あるいは合成体（ごうせいたい、）は、それら体をすべて含む最小の体を言う。
が適当な体 の部分体であるとき、（内部）合成体 は、体 に を添加して得られる体 として定義される。これは、 の元の -係数線型結合の全体に一致し、また をともに含む の部分体すべての交わりにも一致する。この体の添加は対称的で、 が成り立つ。
がともに第三の体の部分体となることが明らかでないときには、（外部）合成体が体のテンソル積を用いて定義される。
が体の拡大 の中間体で、ともに の有限次拡大のとき、合成体の拡大次数は個々の拡大次数の最小公倍数以上、積以下: である。特に が線型無関連ならば、 が成り立つ。これは例えば。 それぞれの拡大次数が互いに素なときに起きる。
共通の拡大体を持つ任意個数の体の合成も考えることができる。例えば、代数的数全体の成す体は、有理数体 の任意の有限次拡大体を部分体として含み、それら有限次拡大体すべての合成体に等しい。
ガロア理論の枠組みにおいて、以下が成立する:
を の共通の部分体とし、 がガロワ拡大であるとき、 拡大 および はガロワ拡大であり、 写像の定義域の制限によってガロワ群の間の群同型 が成り立つ。
出典
参考文献
, especially chapter 2
外部リンク