完全微分形式

微分位相幾何学における微分形式が完全 (exact) である、または完全微分形式（かんぜんびぶんけいしき、）、短く完全形式 (exact form) であるとは、別の微分形式でその外微分がもとの微分形式に一致するものが存在するときに言う。すなわち、完全形式は可積分である。短くまとめると、微分形式が完全とは、微分形式が存在してが積分路のとり方に依らずのみによって決まるようなものである。シュヴァルツの定理により、-の任意の完全形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はその部分的な逆を保証する。

一次微分形式の場合開集合上定義された1-形式が完全とは、上定義された可微分函数が存在してとなるときを言う。言い換えれば、によるベクトル場が勾配場とのスカラー積となる。

ポワンカレの補題によれば、単連結開集合上の -級微分 1-形式が完全となるのは、それが閉となるとき（かつそのときに限る）である。