はめ込み

数学において，はめ込み (immersion) は可微分多様体の間の可微分写像であって微分がいたるところ単射であるもののことであるThis definition is given by , , , , , , , .．明示的には，がはめ込みであるとは，

がのすべての点において単射関数であることをいう（ここでは多様体の点における接空間を表す）．同じことであるが，がはめ込みであるとは，その微分がの次元に等しい定数を持つことであるThis definition is given by , .：

関数それ自身は単射である必要はない．

関連概念は埋め込みである．滑らかな埋め込みは位相的な埋め込みでもある単射はめ込みであり，したがってはにおけるその像に微分同相である．はめ込みはちょうど局所的な埋め込みである――つまり，任意の点に対して，のある近傍が存在して，が埋め込みとなり，逆に局所的な埋め込みははめ込みである局所微分同相に基づいたこの種の定義は , によって与えられている．．無限次元多様体に対して，これははめ込みの定義として取られることもあるこの種の無限次元の定義はによって与えられている．．

がコンパクトならば，単射なはめ込みは埋め込みであるが，がコンパクトでなければ，そうとは限らない；連続全単射と同相を比較せよ．

正則ホモトピー多様体からへの2つのはめ込みとの間のは次のような可微分関数と定義される：すべてのに対して，すべてのに対してによって定義される関数ははめ込みで，, である．正則ホモトピーはしたがってはめ込みを通したホモトピーである．

分類ハスラー・ホイットニーは1940年代にはめ込みと正則ホモトピーの系統的な研究を創始し，に対して次元多様体から次元多様体へのすべての写像がはめ込みにホモトープであること，そしてに対しては実は埋め込みにホモトープであることを証明した．これらがとである．

スティーブン・スメールははめ込みの正則ホモトピー類をあるのホモトピー群として表した．は特に著しい結果であった．

は Smale の表示を任意の次元多様体内の任意の次元多様体のはめ込みの正則ホモトピー類のホモトピー論による記述に一般化した．

はめ込みの Hirsch–Smale 分類はMichael Gromovによって一般化された．

存在

余次元 0

多重点

例と性質クラインの壺や，すべての他の向き付け不可能な閉曲面は，3次元空間にはめ込むことができるが，埋め込むことはできない．

弁のバラは円周の平面へのただ1つの重点を持ったはめ込みである．は任意の奇数でよいが，偶数なら4の倍数で，8の字はバラでない．により，円周の平面へのはめ込みの正則ホモトピー類は回転数によって分類され，この数は代数的に（すなわち符号付きで）数えた二重点の個数でもある．：標準的な埋め込みははめ込みの正則ホモトピーによってと結ばれる．ボーイ曲面は実射影平面の3次元空間へのはめ込みである；したがって球面の2対1のはめ込みでもある．は球面のはめ込みである；これとボーイ曲面はともに sphere eversion の途中のモデルとして生じる．

はめ込まれた平面曲線

はめ込まれた平面曲線は well-defined な Turning number をもち，をで割ったものとして定義できる．これはにより正則ホモトピーで不変である――位相幾何学的には，それはガウス写像の次数，あるいは同じことであるが，原点についての（消えない）unit tangent の回転数である．さらに，これはである――同じ回転数を持つ任意の2つの平面曲線は正則ホモトピックである．

すべてのはめ込まれた平面曲線は交差する点を分離して埋め込まれた空間曲線に持ちあがるが，これは高次元では正しくない．追加の情報（どの紐が上にあるか）により，はめ込まれた平面曲線はを生じ，これは結び目理論において中心的に興味を持たれる．はめ込まれた平面曲線は正則ホモトピーの違いを除いて回転数によって決定されるが，結び目は非常に豊かで複雑な構造を持つ．

3次元空間にはめ込まれた曲面

一般化

はめこみ理論の遠大な一般化はである：はめこみの条件（微分の階数がつねに）は，関数の偏微分のことばで述べられるから， (partial differential relation, PDR) と考えることができる．すると Smale–Hirsch のはめ込み理論はこれがホモトピー論に帰着されるという結果であり，ホモトピー原理は PDR がホモトピー論に帰着する一般の条件や理由を与える．

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