thumb|De mulige permutasjonene til Rubiks kube utgjør en gruppe. En gruppe i matematikken er en mengde elementer sammen med en binæroperasjon. Den må være slik at fire aksiomer er oppfylt. For det første må den være lukket slik at kombinasjonen av to element alltid gir et element i samme gruppe. Videre må den være assosiativ, og det må finnes et enhetselement slik at hvert element har en invers. Et av de mest velkjente eksemplene på en gruppe er mengden av heltall hvor den binære operasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er da tallet 0.

Ved å gi en abstrakt formulering av gruppeaksiomene som er uavhengig av konkrete grupper og deres operasjoner, kan en på en fleksibel måte behandle objekter med svært ulikt matematisk opphav. Dette kan gjøres samtidig som man beholder deres vesentlige strukturelle egenskaper. Studiet av grupper kalles gruppeteori.

Grupper har et fundamentalt slektskap med begrepet symmetri. For eksempel, symmetrigruppen til et geometrisk objekt danner en gruppe. Den består av mengden alle transformasjoner som ikke endrer objektet og operasjonen som kombinerer to slike transformasjoner ved å foreta den ene etter den andre.

Definisjon

Grupper er definert på en slik måte at den gjelder for en vid klasse av objekter som deler en del strukturelle egenskaper. Man har en mengde , og en binæroperasjon . Denne operasjonen er slik at man kan kombinere hvilke som helst to elementer og fra og få et annet element . Symbolet representerer her en generell operasjon, og kan for eksempel stå for addisjon eller multiplikasjon. J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid: En introduksjon, Universitetsforlaget, Oslo (1967).

For at mengden og binæroperasjonen skal være en gruppe må følgende fire aksiomer være oppfylt:

Lukkethet. Hvis og er elementer i , er også et element i . Assosiativitet. Hvis , og er elementer i så gjelder ligningen . Identitetselement. Det finnes et element i slik at for ethvert element i , så holder ligningen . Invers. For enhver i finnes et element i slik at , hvor er identitetslementet.

I allminnelighet er ikke operasjonen kommutativ, det vil si at . Hvis gruppen har denne egenskapen, sies den å være abelsk. Dette adjektivet kommer av den norske matematikeren Niels Henrik Abel. Antall element i gruppen, kalles dens orden. Avhengig av størrelsen på dette tallet, snakker man derfor om små eller store grupper. W. Ledermann, Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver & Boyd, London (1961).

Enkle eksempel

Betegnes mengden av heltallene med Z, så danner de en gruppe hvor binæroperasjonen er addisjon. Den betegnes da med symbolet + på vanlig vis. Elementene i gruppen består av tallene . Det første aksiomet er tilfredsstilt siden summen av to heltall også er et heltall. At addisjon er assosiativ, er også velkjent. Enhetselementet er tallet 0 siden for alle heltall . Det inverse elementet til er nå det negative tallet da . Denne gruppen er abelsk

De positive heltallene danner ingen gruppe da de ikke inneholder inverse element. Men derimot danner de rasjonelle tallene Q en abelsk gruppe under vanlig multiplikasjon. De har formen hvor og er heltall der man ikke tar med 0. Enhetselementet er her , mens det inverse elementet til er . Det oppfyller kravet .

På samme måte danner de reelle tallene R en gruppe under addisjon. Summen av to slike tall og tilsvarer kombinasjonen av to element og skrives som . Dette er også et reelt tall slik at enhetselementet er . Derfor er det inverse elementet til ganske enkelt . På samme måte kan også elementene i et vektorrom betraktes som en slik abelsk gruppe. Disse gruppene inneholder uendelig mange element som varierer kontinuerlig seg imellom. Slike kontinuerlige grupper kalles vanligvis for Lie-grupper.

Klokkearitmetikk thumb|300px|Tidsregning på denne klokken bruker aritmetikk modulo 12. Den måten vi teller timer på en vanlig klokke med tallene , definerer en abelsk gruppe av orden 12 når binæroperasjonen addisjon modulo 12. Hvis klokken er 9 og vi venter 4 timer, vil klokken bli 2, altså er når man lar betegne operasjonen å «addere på en klokke». Mer vanlig er det å skrive dette som når der n er et heltall. Enhetselementet er her , mens elementet invers til for eksempel 5, er 7 fordi 5 + 7 = 12.

Klokkearitmetikk er et eksempel på modulær aritmetikk. For hvert positivt heltall m har man da på samme måte en abelsk gruppe med m element som kombineres ved modulær addisjon analogt med klokken der m = 12.

Undergrupper

I enhver gruppe finnes det en undermengde med element som seg imellom oppfyller de fire gruppeaksiomene. Et av disse elementene må være enhetselementet . Denne delmengden kalles da en undergruppe eller mer sjelden en delgruppe. For eksempel inneholder gruppen Z av alle heltall under addisjon en undergruppe 2Z som består av alle like tall {... -4, -2, 0, 2, 4, ... }. Summen av to slike tall er et nytt partall. Derimot danner ikke oddetallene noen undergruppe da de gir et liketall under en binær addisjon.

Et teorem som først ble bevist av Lagrange, sier at ordenen til en undergruppe av en endelig gruppe, må være en faktor av dennes orden. For eksempel kan en gruppe med 6 element, kun ha undergrupper med 1, 2 eller 3 element. Gruppen med ett element er triviell og består bare av enhetselementet . Formelt sett kan man også betrakte hele gruppen som en slik triviell undergruppe av seg selv. En endelig gruppe hvis orden er et primtall, vil derfor ikke ha noen ikke-trivielle undergrupper. Den er en syklisk gruppe.

Den minste, ikke-trivielle gruppen til Z, består av de to elementene {0,1} når de addereres som binære tall. Det vil si at 0 + 1 = 1 og 1 + 1 = 0 slik at den også er syklisk. Vanligvis betegnes den med C2 eller eventuelt Z2. Den samme gruppen kommer frem ved å kombinere de to elementene {1, -1} ved vanlig multiplikasjon. Da er 1⋅(-1) = -1 og (-1)⋅(-1) = 1. Begge disse to algebraiske strukturene tilsvarer derfor samme gruppe C2 med to element (e, g) som kombineres ved e × g = g og g × g = e.

Homomorfier Funksjoner eller avbildninger mellom to grupper som bevarer gruppestrukturen, kalles for homomorfier. Dette betyr at hvis og er to grupper, så er en gruppehomomorfi mellom dem en funksjon slik at for alle . Hvis funksjonen er både injektiv og surjektiv, så er den en isomorfi. Det betyr at gruppene er essensielt like.

Eksemplet med gruppene bestående av {0, 1} som kombineres ved en binær addisjon og gruppen {1, -1} hvor elementene kombineres ved multiplikasjon, viser en isomorfi dem imellom. Begge kan da karakteriseres som den abstrakte gruppen C2. Likedan kan alle de like elementene i heltallsgruppen Z avbildes på +1, mens de odde tallene avbildes på -1. Dermed har man en homomorfi hvor uendelig mange element avbildes på en gruppe med bare to element. Dette tilsvarer ikke noe annet enn med at summen av et odde tall og et like tall alltid er et odde tall, mens summen av to odde tall er et liketall.

Sykliske grupper thumb|De seks løsningene av ligningen x6 = 1 utgjør den sykliske gruppen C6 = < z = eπ i /3 >   og danner en regulær sekskant. En endelig, syklisk gruppe er en abelsk gruppe hvor alle elementene er potenser av et bestemt element. Hvis dette elementet kalles g og gruppens orden er n, inneholder den elementene

når man benytter multiplikativ notasjon og skriver g2 = g × g og så videre. Da er enhetselementet e = g0 = gn. Elementet g kalles for gruppens generator eller primitive element. Hvis man istedet hadde brukt additiv notasjon, ville g × g = 2g etc. Enhetselementet blir da e = ng = 0 og kombinasjonen av element tilsvarer modulær addisjon.

Når gruppen G er generert av elementet g, skrives dette vanligvis som G = < g >. Den vanlige betegnelsen på den sykliske gruppen av orden n, er Cn eller Zn. J.B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1976).

De to tallene {1, -1} danner den sykliske gruppen C2 = < -1 > under vanlig multiplikasjon. Nå er disse to tallene løsningen av den enkle ligningen . Den sykliske gruppen C3 har element som er løsninger av den tilsvarende ligningen . De er det reelle tallet og de to komplekse tallene

der i = √-1 er den imaginære enheten. Da z12 = e 4π i /3 = og z13 = når man benytter Eulers likhet, er z1 et primitivt element slik at .

På lignende måte består kan man illustrere den sykliske gruppen av fjerde orden med de fire tallene C4 = {1, i, -1, -I } som kombineres ved vanlig multiplikasjon av kompelse tall. Den er generert av elementet i da i 2 = - 1 og i 3 = - i slik at i 4 = 1. Likedan er den sykliske gruppen med seks element generert av det komplekse tallet . Den består da av elementene {1, z, z 2, z 3, z 4, z 5}. De er løsninger av ligningen og danner en regulær sekskant i det komplekse planet.

Symmetrigrupper

En matematisk gruppe kan uttrykke symmetrien til en geometrisk figur, et regelmessig mønster eller et molekyl sammensatt av mindre atomer. Slike symmetrigrupper er viktige innen fysikk og kjemi.

Som et enkelt eksempel kan man se på bokstaven A i et plan hvor den står på en horisontal x-akse mens en y-akse står vinkelrett på denne gjennom dens toppunkt. Bokstaven er nå symmetrisk om y-aksen. Man kan tenke seg et speil langs denne aksen stående vinkelrett på xy-planet slik at bokstaven blir reflektert i speilet. Det er derfor vanlig å si at y-aksen er et symmetrisk speilingsplan for denne bokstaven. Derimot er en tilsvarende refleksjon i x-aksen ingen symmetrioperasjon.

Betegner man denne operasjonen eller transformasjonen av bokstaven med symbolet s, vil den ha to symmetrier e og s der e beskriver enhetstransformasjonen som betyr at bokstaven forblir i sin opprinnelig stilling. Disse to symmetritransformasjonene danner nå den sykliske gruppen } da = e fordi to speilinger er det samme som ingen speiling.

Dihedral gruppe D2

D2ersxsyee r sx syr r e sy sx sx sx sy e r sy sy sx r e

En langstrukket bokstav H har den samme symmetrien. Men denne har også en slik refleksjonssymmetri om x-aksen slik at man har to speilingsoperasjoner sx og sy i dette tilfellet. Begge er refleksjoner slik at sx2 = sy2 = e.

Nå kan disse to symmetrioperasjonene også kombineres. Hvis man først utfører sy og så sx, er det vanlig å skrive dette som sx × sy = sx sy. For å se hva som skjer under denne kombinerte operasjonen, tenker man seg at objektet H i dette tilfellet har tall 1, 2, 3, og 4 i hvert hjørne eller eventuelt bokstavene A, B, C og D. Da vil man se at den doble speilingen er det samme som en rotasjon r  på 180° mot klokken om en z-akse vinkelrett på xy-planet. En dobbel slik rotasjon tilsvarer en dreievinkel 360° som er ingen rotasjon slik at . Hvis de to speilingene blir gjort i motsatt rekkefølge, kommer man frem til samme resultat. Matematisk kan det nå skrives som = r. Lignende betraktninger viser at = sy og = sx.

Bokstaven H er derfor symmetrisk eller invariant under fire transformasjoner som utgjør den dihedrale gruppen med fire element }. Egenskapene til gruppen følger fra alle mulige kombinasjoner av to og to gruppeelement og kan sammenfattes i det som vanligvis kalles en Cayley-tabell etter Arthur Cayley. Denne gruppen er abelsk som man kan se fra tabellen ved at den er symmetrisk om diagonalen. Da den er generert av r og s = sx, kunne den likså godt være beskrevet som } fordi der = e og . Både gruppen } og } er undergrupper. Ofte blir denne gruppen også omtalt som Kleins Vierergruppe eller 4-gruppe V4.

Navnet dihedral har samme bakgrunn som dihedral vinkel og kommer av at man kan tenke seg at plane figurer har to sider, en forside og en bakside.

Dihedral gruppe D3 thumb|left|De tre speilingsaksene i trekanten ligger fast under symmetritransformasjonene.

Regulære polygoner har mange symmetrier som kan uttrykkes ved større, dihedrale grupper. For eksempel, en likesidet trekant forblir uforandret hvis den

roteres 120°, 240° eller 360° = 0° mot urvisesen om en akse vinkelrett på trekantens plan