Derivasjon

Derivasjon er en operasjon i matematikk der en bestemmer den deriverte av en funksjon. For en funksjon av én reell variabel er den deriverte definert ved

,

dersom grenseverdien eksisterer. Den deriverte er et mål for endringen i funksjonsverdier når den frie variabelen endres. Geometrisk er den deriverte et uttrykk for stigningstallet til tangenten til funksjonen.

For funksjoner av flere variable kan en definere ulike typer deriverte, som retningsderivert, partiellderivert og totalderivert.

Studiet av derivasjon og differensialer kalles differensialregning. Analysens fundamentalteorem sier at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner, og en bruker derfor ofte betegnelsen differensial- og integralregning. Dette fagfeltet er svært viktig både for matematisk analyse og for anvendt matematikk.

Derivasjon av en reell funksjon av én variabel

En reell funksjon av én variabel er en funksjon . Et enkelt eksempel er funksjonen som beskriver en rett linje. For en rett linje er stigningstallet lik den deriverte til funksjonen som beskriver linjen.

Stigningstallet for en rett linje right|thumb|250px|Stigningstalet til en rett linje: En rett linje kan beskrives med funksjonen

.

Hvis koeffisienten er lik null, så er funksjonen lineær. Koeffisienten er stigningstallet som styrer vinkelen som linjen danner med -aksen:

.

Gitt to punkt og , så finner en stigningstallet ved

Symbolet brukes for å beskrive en endring i en størrelse, og og er samsvarende endringer:

Funksjonen som beskriver en rett linje, har derivert .

Formell definisjon av den deriverte

En funksjon som avbilder et åpent intervall av reell tall, er deriverbar i hvis den følgende grenseverdien eksisterer:

  (med )

Grenseverdien kalles den deriverte til med hensyn på i . Dersom grenseverdien ikke eksisterer, så er funksjonen ikke deriverbar i punktet. Hvis funksjonen er deriverbar i et hvert punkt i intervallet, sies funksjonen å være deriverbar i intervallet. Den deriverte definerer da en ny funksjon i intervallet, ofte skrevet som eller :

.

Ordet «differensierbar» brukes synonymnt med «deriverbar».

Det eksisterer mange ulike skriveformer for funksjonen som er resultat av derivasjonen, drøftet i det følgende avsnittet Notasjon.

En funksjon kan være deriverbar i hele , men kan også ha punkter der den ikke er deriverbar. Det eksisterer funksjoner som ikke er deriverbare i noe punkt, for eksempel funksjonen som beskriver Koch-kurven, navngitt etter Helge von Koch.

Eksempler

Den deriverte til funksjonen i punktet kan finnes ved å forenkle differensekvotienten

Den deriverte finnes ved å ta grenseverdien når :

.

Vanligvis finnes den deriverte av en funksjon ved hjelp av regneregler for derivasjon og ikke ved bruk av definisjonen, slik som er gjort her. Regnereglene må imidlertid bevises ved hjelp av definisjonen for den deriverte.

thumb|Absoluttverdi-funksjonen er ikke deriverbar for . Et eksempel på en funksjon som ikke er deriverbar overalt, er gitt ved absoluttverdi-funksjonen:

For er den deriverte lik -1, mens i intervallet er den deriverte lik 1. For eksisterer de to ensidige grenseverdiene, men da disse ikke er like, så er funksjonen ikke deriverbar for dette argumentet:

.

Et slik punkt hvor den deriverte eksisterer på begge sider, men hvor de ensidige grenseverdiene er ulike, kalles et knekkpunkt for grafen til funksjonen.

Høyere-ordens deriverte

Hvis den deriverte til funksjonen er deriverbar, kan man definere den andrederiverte eller dobbeltderiverte til som den deriverte til den førstederiverte. Denne nye funksjonen kan skrives som . Tilsvarende kan man definere den tredje deriverte , og så videre.

Den n-te deriverte kalles også den deriverte av orden n.

Ved å bruke samme eksempel som tidligere, finner en

Geometrisk tolkning thumb|Sekant og tangent til en funksjonsgraf Verdien av den deriverte i et punkt generaliserer stigningskoeffisienten for en rett linje. For en vilkårlig deriverbar funksjon vil verdien av den deriverte være lik stigningskoeffisienten til tangenten til funksjonsgrafen i punktet.

For å definere tangenten starter en med en sekant gjennom to punkt på funksjonsgrafen, og . Ved å la gå mot null, som i grenseverdien som definerer den deriverte, vil sekanten nærme seg tangenten som grense.

Ligningen for tangenten i punktet er

Den andrederiverte er et mål for krumningen til grafen i et punkt. En rett linje har ingen krumning, og funksjonen har en andrederivert lik null.

Generelt har grafen til en vilkårlig funksjon en krumning gitt ved det følgende uttrykket:

Aritmetisk tolkning

Den deriverte til en funksjon i punktet beskriver den lokale oppførselen til funksjonen i en omegnen om . Fra definisjonen av den deriverte følger det at

Leddet er en funksjon av både og , og leddet må gå mot null når går mot null. For en liten verdi av kan en derfor bruke tilnærmingen

Den deriverte er et mål på den lineære andelen av endringen i , når endres med et vilkårlig lite tall. En slik vilkårlig liten endring kalles en infinitesimal endring. Når tilnærmingen brukes for en endelig verdi av , omtales tilnærmingen som en linearisering av funksjonen.

Antideriverte

Antiderivasjon er prosessen for å finne en antideriverte funksjon, også kalt en primitiv funksjon. En funksjon er en primitiv funksjon til dersom funksjonen er dens deriverte, det vil si dersom .

Notasjon for deriverte

Det eksisterer flere forskjellige skriveformer for deriverte, brukt både gjennom historisk tid og i dag.

Leibniz' notasion

Symbolene , og ble introdusert av Gottfried Leibniz i 1675.F. Cajori: A history of mathematical notations Bind II, s.204 Denne skrivemåten er fremdeles vanlig brukt når en ønsker å understreke funksjonssammenhengen . Den første-ordens deriverte skrives som en infinitesimal brøk

.

Høyere-ordens deriverte av orden n uttrykkes på formen

Den deriverte for et gitt argument kan med denne notasjonen skrives som

Lagranges notasjon

En svært vanlig form for symbol for den deriverte stammer fra Joseph Louis Lagrange og bruker et primtegn sammen med symbolet for funksjonen. Notasjonen ble første gang brukt i verket Theorie des fonctions analytiques i 1797.F. Cajori: A history of mathematical notations Bind II, s.207 Den deriverte av funksjonen symboliseres med. Høyere-ordens deriverte kan skrives ved å gjenta primtegnet, slik at den andre-deriverte er . For deriverte av orden høyere enn tre, kan en sette ordenstallet med opphøyd skrift, enten med romertall eller med vanlige tallsymbol:

  eller  

Lagranges notasjon er mer praktisk enn Leibniz' når en vil understreke at den deriverte er en selvstendig funksjon.

Newtons notasjon

Newtons notasjon for å symbolisere tidsderiverte går tilbake til 1665.F. Cajori: A history of mathematical notations Bind II, s.197 Bruk av denne notasjonen finnes vanlig både i fysikk og matematikk. For en funksjon der argumentet representerer tid, kan en prikk over funksjonen symbolisere derivasjon. Hvis , så representerer de følgende funksjonene den førstederiverte og den andrederiverte:

.

Prikk-notasjonen er også brukt i differensialgeometri for den deriverte med hensyn på buelengden.

Eulers notasjon

Leonhard Euler forsvarte i 1755 notasjonen for den deriverte funksjonen, men dette skapte en del forvirring jevnført med Leibniz' skrivemåte.F. Cajori: A history of mathematical notations Bind II, s.213 I 1800 foreslo Louis François Antoine Arbogast i stedet å bruke en stor bokstav for en differensialoperator som opererte på funksjonen gir den første-deriverte .F. Cajori: A history of mathematical notations Bind II, s.208-209 Den n-te deriverte skrives . For å presisere hva som er den uavhengige variabelen, kan denne skrives med nedfelt skrift: Hvis funksjonen er , så skrives da den deriverte som

  eller   .

Utregning av den deriverte

Den deriverte til en gitt funksjon regnes vanligvis ut ved å kombinere

kjennskap til deriverte for et sett av elementære funksjoner; med et sett av derivasjonsregler for å behandle sammensatte funksjoner.

Derivasjon av elementære funksjoner

Konstante funksjoner

Potensfunksjonen

Eksponential- og logaritmefunksjoner

Trigonometriske funksjoner

Inverse trigonometriske funksjoner

Derivasjonsregler

La , og være reelle, deriverbare funksjoner. La videre og være reelle tall. Da gjelder:

Faktorregelen

Summeregelen

Produktregelen

Kvotientregelen eller brøkregelen

Kjerneregelen

Kombinert kjerne og produktregel

Inverse funksjoner Hvis er en bijektiv funksjon som er deriverbar i med , og den inverse funksjonen er deriverbar ved , så gjelder:

Leibniz’ regel

.

Her er binomialkoeffisienter.

Implisitt derivasjon

Hvis en funksjon er definert implisitt ved en ligning

,

så følger det av den generaliserte kjerneregelen for funksjoner av flere variabler at

I denne ligningen er

partiell deriverte av funksjonen . Forutsatt at den partiell deriverte er ulik null, så kan den deriverte av funksjonen uttrykkes som en brøk:

Eksempel

Gitt funksjonen

Den deriverte er da gitt som følger:

Det første leddet er derivert ved å bruke regelen for en potensfunksjon. Det andre leddet er håndtert ved hjelp av kjerneregelen samt regler for derivasjon av trigonometriske funksjoner og potensfunksjoner. Derivasjon av det tredje leddet er gjennomført ved å bruke produktregelen.

Egenskaper til deriverbare funksjoner

Derivasjon og kontinuitet En funksjon som er deriverbar for , er også kontinuerlig i . En funksjon kan altså ikke være deriverbar i en diskontinuitet.

Omvendt kan en funksjon være kontinuerlig i et punkt, uten å være deriverbar i punktet. Et eksempel på dette er punktet for absoluttverdi-funksjonen.

Dersom funksjonen har en derivert som også er kontinuerlig, sies funksjonen å være kontinuerlig deriverbar. Hvis den n-te ordens deriverte eksisterer og er kontinuerlig, så er funksjonen n ganger kontinuerlig deriverbar. Klassen av slike funksjoner er viktig nok til å ha fått sitt eget symbol:

betegner klassen av funksjoner som er n ganger kontinuerlig deriverbar på definisjonsmengden . Klassen av kontinuerlige funksjoner er . En funksjon som er uendelig mange ganger kontinuerlig deriverbar kalles en glatt funksjon, og klassen av slike funksjoner betegnes som .

Generelt gjelder at

.

Middelverdisetningen

thumb|Middelverdisetningen uttrykker at sekanten mellom to punkt har en parallel tangent mellom de to punktene. For en funksjon som er deriverbar i et intervall, vil stigningen til sekanten mellom to vilkårlige punkt på grafen til funksjonen være et uttrykk for den midlere endringen til funksjonen mellom de to punktene. Middelverdisetningen uttrykker at grafen til funksjonen mellom de to punktene må ha en tangent med samme stigning som sekanten. Setningen kalles også sekantsetningen:

La være en funksjon som er kontinuerlig på et lukket intervall (med ). Anta videre at er deriverbar i det åpne intervallet . Da finnes minst ett punkt , slik at

.

Dersom , medfører dette at funksjonen må ha en derivert mellom og som er lik null, det vil si at tangenten er horisontal. Dette spesialtilfellet av middelverdisetningen kalles Rolles sats.

Monotonisitet

En funksjon er monoton i et intervall dersom den er voksende eller minkende i hele intervallet. Tilsvarende sier en også at funksjonen er strengt monoton i et intervall dersom den er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet. Disse egenskapene følger direkte fra middelverdisetningen.

En deriverbar funksjon er voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er ikke-negativ i hele intervallet. Tilsvarende er funksjonen minkende i et intervall dersom den deriverte er ikke-positiv i intervallet.

En deriverbar funksjon er strengt voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er positiv i hele intervallet. Tilsvarende er funksjonen strengt minkende i et intervall dersom den deriverte er negativ i intervallet.

Ekstremalverdier og vendepunkt