thumb|280px|Øyeblikksbilde av elektriske E og magnetiske B feltlinjer rundt en dipolantenne. Et elektromagnetisk felt oppstår i alle situasjoner hvor det finnes elektrisk ladning. Er denne i ro, vil det bestå av et rent elektrisk felt. Så snart den beveger seg, vil ladningen også omgi seg med et magnetisk felt. Feltet er beskrevet ved Maxwells ligninger som viser at det utbrer seg i vakuum med lyshastigheten.
Egenskapene til det elektromagnetiske feltet lå til grunn for Einsteins utvikling av den spesielle relativitetsteorien i 1905. Den viser at komponentene til feltet utgjør en antisymmetrisk tensor i det firedimensjonale tidrommet. Om det skal ha hovedsakelig en elektrisk eller en magnetisk karakter, avhenger av hvordan det observeres. Feltet er invariant under gaugetransformasjoner slik at Maxwells ligninger definerer en gaugeteori. Siden 1983 har det vært kjent at det elektromagnetiske feltet inngår sammen med andre, tilsvarende felt for den svake kjernekraften i en enhetlig, elektrosvak gaugeteori.
Elektromagnetiske felt spiller en stadig større rolle i vårt moderne samfunn. All telekommunikasjon, radar, fiberoptikk, elektrisk motorer, strømforsyning og mye annet er basert på de samme matematiske ligninger som ble funnet av Maxwell for omtrent 150 år siden.
Maxwells ligninger
Grunnlaget for den moderne forståelse av det elektromagnetiske feltet ble lagt av Michael Faraday gjennom hans eksperimentelle undersøkelser av elektriske og magnetiske krefter. Disse forklarte han ved at de ble formidlet av et felt som han kunne beskrive ved hjelp av feltlinjer. Den matematiske beskrivelsen av dette elektromagnetiske feltet ble funnet av James Clerk Maxwell i 1862 uttrykt ved tyve partielle differensialligninger for de forskjellige komponentene til feltet. Et par tiår senere ble disse redusert til fire ligninger av Oliver Heaviside ved bruk av vektoranalyse.
I denne moderne formuleringen er det elektromagnetiske feltet beskrevet ved to vektorfelt som kalles det elektriske feltet og det magnetiske fluksfeltet . Hvis bare det elektriske feltet er tilstede og det ikke varierer med tiden, kalles det for et elektrostatisk felt. Likedan, hvis kun det magnetiske feltet er tilstede og det ikke varierer med tiden, kalles det for et magnetostatisk felt. Men hvis bare et av disse to vektorfeltene har en tidsavhengighet, vil også det andre få det gjennom Maxwells ligninger.D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
For å beskrive feltet i materialer og forskjellige medier er det hensiktsmessig å innføre et elektrisk forskyvningsfelt hvor ε er permittiviteten til materialet. På samme måte defineres et magnetisk felt H i et material med permeabilitet μ ved sammenhengen . I vakuum er disse to materialkonstantene gitt ved henholdsvis den elektriske konstanten ε0 og den magnetiske konstanten μ0.
Kilden til det elektromagnetiske feltet er elektrisk ladning beskrevet ved en ladningstetthet og elektriske strømmer beskrevet ved strømtettheten . Disse inngår i de to første Maxwell-ligningene som er
Den første er Gauss' lov for det elektriske feltet som har elektrisk ladning som kilde. Fra betydningen av divergens-operatoren følger at de tilsvarende feltlinjene går fra positive ladninger og ender opp på like store, negative ladninger. På samme vis viser den andre Maxwell-ligningen, hvor forskyvningsstrømmen inngår, at elektriske strømmer er kilden til det magnetiske feltet. Ligningen omtales vanligvis som Maxwell-Ampères sirkulasjonslov da den er en generalisering av Ampères opprinnelige sirkulasjonslov for stasjonære strømmer til det generelle tilfellet hvor feltene varierer med tiden. Tar man divergensen av ligningen, fremkommer kontinuitetsligningen som et uttrykk for at elektrisk ladning er en bevart størrelse. O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press, Oxford (2003). ISBN 0-19-850593-0.
De to siste Maxwell-ligningene kan skrives som
og er uten kilder. Den første betyr at magnetiske flukslinjer alltid vil være lukkete kurver da det er ingen ladninger hvor de kan starte eller ende opp på. At det ikke finnes slike magnetiske ladninger, betyr også at i denne klassiske, elektromagnetiske teorien finnes ikke magnetiske monopoler. Den siste ligningen her viser de hvordan elektriske og magnetiske felter er knyttet sammen i et elektromagnetisk felt slik at det ene kan gi opphav til det andre og representerer den matematiske formuleringen av Faradays induksjonslov.
Elektromagnetiske potensial
Den magnetiske Maxwell-ligningen ∇⋅B = 0 er automatisk oppfylt ved å skrive
hvor er det magnetiske vektorpotensialet. Det ble først innført av Franz Neumann og benyttet i stor grad av Maxwell i konstruksjon av sine ligninger. Bruker man denne definisjonen i Faradays induksjonslov, ser man at må være gradienten til en skalar funksjon. Den er gitt ved det elektriske potensialet slik at man skrive det elektriske feltet generelt som
I det statiske tilfellet forenkles denne relasjonen til E = - ∇ φ. Det viser at dette potensialet da er direkte relatert til den potensielle energien til en partikkel som befinner seg i et slikt elektrisk felt.
Derimot har det elektriske potensialet ingen slik direkte fysisk interpretasjon når feltet varierer med tiden da det alltid kan forandres ved en gaugetransformasjon. Det ser man ved å innføre en vilkårlig funkjon . Hvis man så definerer de transformerte potensialene, ved
vil de transformerte elektriske og magnetiske feltene forbli uforandret. Maxwell-teorien sies derfor å være gaugeinvariant, noe som på et vis definerer dens innhold.
Denne friheten kan også være av stor betydning ved bruk av teorien. Avhengig av hva man ønsker å oppnå kan man derfor anta at potensialene oppfyller en bestemt betingelse som medfører visse forenklinger. Så snart man tar en slik betingelse i bruk, sies man å arbeide innen en bestemt gauge. De mest vanlige gaugevalgene er Coulomb-gauge og Lorenz-gauge.
Bølgeligninger En viktig fordel ved å benytte potensial til å formulere lovene for det elektromagnetiske feltet, er det gir enklere bølgeligninger som beskriver feltets utbredelse i tid og rom. For det magnetiske vektorpotensialet kan den utledes fra definisjonen . Tar man curl av denne og bruker identiteten = sammen med Maxwells to ligninger for og , får man
hvor
er lyshastigheten i materialet der feltene befinner seg. Likedan, ved å ta divergensen av Gauss' lov på differensiell form hvor man i alminnelighet har , kan resultatet skrives som
Dette er ingen vanlig bølgeligning for det elektriske potensialet. I tillegg involverer både dette og det forrige uttrykket begge potensialene Φ og A slik at an ikke uten videre kan holde disse to fra hverandre under en beregning.
Ligningene forenkles betraktelig ved bruk av Lorenz-gaugen
Det resulterer i den inhomogene bølgeligningen
for det magnetiske vektorpotensialet. Samtidig vil det elektriske potensialet oppfylle den tilsvarende bølgeligningen
De to potensialene er dermed blitt koblet fra hverandre og deres bevegelsesligninger kan løses hver for seg. De er kun indirekte avhengig av hverandre gjennom gaugebetingelsen.
Retarderte løsninger
For gitt kilder og kan begge bølgeligningene løses ved bruk av Greens funksjon. Siden et signal som er skapt i et kildepunkt r', vil bruke en tid |r - r'|/c for å nå frem til et feltpunkt r, vil feltet i dette punktet ved tiden t være avhengig av hva som forgikk i kilden ved det tidligere eller retarderte tidspunktet
Løsningene av bølgeligningene i vakuum med ε = ε0 og μ = μ0 kan da skrives generelt som
De ble for første gang utledet av den danske fysiker Ludvig Lorenz på midten av 1800-tallet. All elektromagnetisk stråling fra klassiske kilder kan beregnes fra disse to formlene. I enkleste approksimasjon beskrives kildene med sine dipolmoment som resultererer i elektrisk og magnetisk dipolstråling. C.A. Brau, Modern Problems in Classical Electrodynamics, Oxford University Press, Oxford (2004). ISBN 0-19-514665-4.
For statiske kilder forenkles disse løsningene. Ligningen for Φ gir det elektriske potensialet som skyldes en konstant ladningsfordeling, mens uttrykket for vektorpotensialet A er ekvivalent med Biot-Savarts lov for det magnetiske feltet frembrakt av en stasjonær strømfordeling.
Coulomb-gauge
Bølgeligningene kan også løses i Coulomb-gaugen ∇⋅A = 0. Selv om løsningene da ser annerledes ut, vil de gi samme resultat ved beregning av fysiske størrelser. Med dette gaugevalget, vil den siste ligningen for det skalare potensialet Φ forenkles til Poissons ligning
som ikke er en vanlig bølgeligning. Den kan løses på samme måte som i det elektrostatiske tilfellet slik at man har
Her opptrer samme tidspunkt både i kildepunktet og feltpunktet. Selv om det ikke er noen retardasjon i denne løsningen, vil likevel et fysisk signal fra kilden ta en viss tid å nå frem siden det er sammensatt med den delen som blir overført gjennom vektorpotensialet. Og det forplanter seg med retardasjon som kommer frem ved å skrive den resulterende bølgeligningen i denne gaugen som
etter å ha innført den transverse strømmen
Løsningen for det magnetiske vektorpotensialet ved bruk av Coulomb-gaugen kan derfor skrives på den retarderte formen
Den avhenger av den transverse delen av strømtettheten som har sitt navn fra egenskapen
når man benytter ligningen for det skalare potensialet sammen med kontinuitetsligningen for den elektriske strømmen.
For en partikkel med ladning q og en hastighet v som er mye mindre enn lyshastigheten, kan man se bort retardasjonen i beregning av vektorpotensialet. Mens det er i Lorenz-gaugen, blir det nå i Coulomb-gaugen
hvor r nå angir separasjonen mellom partikkelen og punktet der potensialet virker. Dette oppfyller betingelsen som definerer dette gaugevalget. Den magnetiske Darwin-vekselvirkningen mellom to ladninger i bevegelse følger nesten direkte fra dette potensialet.
Elektromagnetiske grensebetingelser
Når en elektromagnetisk bølge beveger seg fra et medium til et annet, vil dens forplantningshastighet forandres da materialkonstantene ε og μ tar nye verdier. Dette har viktige konsekvenser som for eksempel brytning og refleksjon av lys. Slike prosesser skjer i grenseflaten mellom de to mediene og er styrt av Maxwells ligninger.
Grensebetingelsene som de elektriske og magnetiske feltene må oppfylle på flaten mellom de to mediene, følger direkte fra Maxwell-ligningene når de skrives på integralform. Gauss' lov er da ekvivalent med divergensteoremet
hvor ρ er tettheten av frie ladninger i volumet V innesluttet av flaten . Flateelementet hvor normalvektoren n peker ut av volumet.
Man tenker seg nå et lite integrasjonsvolum dV med form som en rektangulær boks med topp- og bunnflater A plassert parallelt og på hver sin side av grenseflaten. Volumet av boksen er dermed når h er dens mikroskopiske høyde. Ved å la A bli tilstrekkelig liten, kan feltene D1 og D2 på topp- og bunnsiden antas å være konstante slik at divergensteoremet gir
der vektoren n12 er vinkelrett på grenseflaten med retning fra medium 2 til 1, mens er ladningstettheten på grenseflaten.
På tilsvarende vis vil Maxwell-ligningen gi grensebetingelsen
Begge disse betingelsene er krav som feltkomponentene normalt til grenseflaten må oppfylle.
Parallelle komponenter Lignende betingelser på komponentene n × E og n × H parallelt med grenseflaten følger fra de to andre Maxwell-ligningene. De involverer curl til feltene og kan skrives på integralform ved bruk av Stokes' teorem. Dermed kan Faradays induksjonslov skrives som
der integrasjonen går over en endelig flate S med omkrets ∂S. Her kan man velge denne å være et rektangel med to lange sidekanter L og to korte h → 0. Det er orientert slik at en langside ligger i medium 1 og den andre i medium 2. På høyre side av ligningen vil nå arealet gå mot null, slik at venstresiden gir