thumb|300px|Forskjellige energinivå i et atom til venstre splittes opp i et ytre magnetfelt til høyre. Størrelsen av denne Zeeman-effekten er gitt ved Landés g-faktor. Landés g-faktor er en numerisk størrelse som benyttes i atomfysikk til å angi størrelsen av det magnetiske momentet til et atom i forhold til dets kvantemekaniske spinn. Da et atomet kan befinne seg i forskjellige kvantetilstander, vil g-faktoren i alminnelighet avhenge av kvantetallene til den tilsvarende tilstanden. Man kan også på analogt vis tilordne forskjellige atomkjerner og elementærpartikler en slik faktor.
For et atom i en gitt tilstand med magnetisk moment μ og totalt spinn J, defineres Landés g-faktor ved sammenhengen
hvor -e er elektrons elektriske ladning og me dets masse. Den er derfor et dimensjonsløst tall. På grunn av minustegnet peker de to vektorene μ og J i motsatt retning.
Et nukleon eller atomkjerne har et magnetisk moment som kan skrives på tilsvarende måte. Men i definisjonen må da elektronets ladning -e erstattes med protonets ladning +e og me med protonets masse mp. Selv om nøytronet har null elektrisk ladning, har det likevel et magnetisk moment og en g-faktor definert på denne måten. For begge nukleonene skyldes deres ikke-trivielle g-faktorer bevegelsen til kvarkene inni dem.
I klassisk fysikk vil et magnetiske moment som skyldes bevegelsen til en ladning i en lukket bane med en gitt dreieimpuls, alltid medføre at g = 1. Det tilsvarer at det magnetiske momentet vil presessere med Larmor-frekvensen i et ytre magnetfelt. Men i kvantemekanikken vil elektronets egenspin s = 1/2 ha som konsekvens at g = 2 og kan beskrives ved Pauli-ligningen. Dette resulterte i at de magnetiske momentene til atomene som kan observeres i den anomale Zeeman-effekten, i lang tid var vanskelig å forstå. Dette ble først oppklart rundt 1922 av den tyske fysiker Alfred Landé som innførte g-faktoren og har fått sitt navn knyttet til den. Hans bidrag var dermed også avgjørende for den fundamentale oppdagelsen av elektronets spinn.
Spinn i magnetfelt left|thumb|280px| Illustration av addisjon av to spinn L og S til et totalt spinn J = L + S i en klassisk vektormodell. Når man beskriver et elektron i et atom ved bruk av kvantemekanikk, har det et orbitalt spinn eller dreieimpuls L med en størrelse gitt ved det heltallige kvantetallet ℓ = 0, 1, 2, ... og et intrinsikt spinn S gitt ved spinnkvantetallet s = 1/2. Det totale spinnet til elektronet er derfor gitt ved summen
som også er et kvantisert spinn karakterisert ved kvantetall j = ℓ ± 1/2. Det tar derfor halvtallige verdier. Hvis atomet befinner seg i et ytre magnetfelt B i z-retning, har det totale spinnet J en komponent Jz i denne retningen gitt ved det magnetiske kvantetallet m. Det kan ta 2j + 1 ekvidistante verdier fra -j til +j . Denne fremstillingen av spinnet er et resultat av å betrakte de to vektorene L og S som kvantemekaniske operatorer. Dermed vil også J være en slik spinnoperator. P.C. Hemmer, Kvantefysikk, Tapir akademisk forlag, Trondheim (2000). ISBN 82-519-1564-3.
Klassisk forestiller man seg en slik addisjon av spinn ved at de to vektorene L og S presesserer rundt en akse gitt ved resultanten J. M. Born, Atomic Physics, Blackie & Son, Glasgow (1966). Det tilsvarer at det er kun kvantetallene mℓ og ms for komponentene Lz og Sz med m = mℓ + ms som kan spesifiseres.
I et ytre magnetfelt B vil elektronet i atomet få en tilleggsenergi
som er proporsjonal med Lz + 2Sz når magnetfeltet er langs z-aksen. Tallet ge = 2 foran spinnvektoren S er g-faktoren til elektronet og er i virkeligheten en relativistisk effekt som kommer fra Dirac-ligningen. Det er denne fundamentale egenskapen ved elektronet som gjør de magnetiske egenskapene til atomet så kompliserte.
Klassisk vektormodell
Hvis elektronet i atomet er i en tilstand som kan spesifiseres med de to kvantetallene j og m for det totale spinnet J, har ikke komponentene Lz og Sz fikserte verdier. Men benytter man en klassisk beskrivelse, kan de finnes fra projeksjonene av vektorene S og L på resultantvektoren J. Det gir
Ved å benytte at J⋅L = J2 - J⋅S, finner man dermed at
Dette kan videre forenkles ved å bruke L2 = J2 - 2J⋅S + S2 som gir
Sammenligner man dette resultatet med det klassisk uttrykket
for energien til et magnetisk moment μ i et ytre magnetfelt B, er det naturlig å skrive dette som
hvor den klassiske g-faktoren er
Formen til dette resultatet viser seg å beholdes når man forlater denne klassiske vektormodellen og gjør bruk av en mer korrekt, kvantemekanisk beskrivelse.
Kvantemekanikk Den klassiske formen til uttrykket for g-faktoren vil bli bevart ved overgang til kvantemekanikk da det er basert på den lineære sammenhengen mellom vektoroperatorene L, S og J. Men størrelsen av dem vil være bestemt ved de tilsvarende kvantetallene. For en tilstand spesifisert ved kvantetallene j og m, vil J2 være gitt som hvor ħ er den reduserte Planck-konstanten, mens Jz tar verdiene mħ. Tilsvarende gjelder for L2 og S2 uttrykt ved sine kvantetall ℓ og s, det vil si og . Derimot har komponentene Lz og Sz ingen bestemte verdier i en slik tilstand spesifisert med kvantetallene j og m.
Det kvantemekaniske uttrykket for g-faktoren blir dermed
For et elektron er s = 1/2 slik at s(s + 1) = 3/4. De to tilstandene med j = ℓ ± 1/2 har derfor g-faktorer som i begge tilfellene kan skrives som
Som et enkelt eksempel, kan man betrakte p-tilstander som er karakterisert ved orbitalt spinn ℓ = 1. Tilstanden P1/2 med j = 1/2, har derfor , mens tilstanden med har .
Clebsch-Gordan-koeffisienter
Egentilstandene for spinnoperatoren J kan uttrykkes ved egentilstandene for operatorene L og S ved bruk av «Clebsch-Gordan-koeffisienter». Mens de første kan betegnes ved der
,
kan de andre skrives som med tilsvarende egenverdier for L2, S2, Lz og Sz som tar verdiene ms = ±1/2 for elektronspinn s = 1/2. Egentilstandene for gitt totalspinn j = ℓ ± 1/2 er da
Den magnetiske energien til elektronet er gitt ved matriseelementet av operatoren i disse to tilstandene. Mens Jz ganske enkelt gir mħ, kan matriselementet av Sz nå også regnes nøyaktig ut,
De forskjellige projeksjonene av spinnvektorene i den klassiske beskrivelsen erstattes derfor med kombinasjoner av kvadrerte Clebsch-Gordan-koeffisienter når man bruker kvantemekanikk. Men resultatet for g-faktoren
er det samme for denne med bare et elektron som kobler til magnetfeltet. F. Schwabl, Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin (1990). ISBN 0-387-54217-5.
Atom med mange elektroner
På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp vil lukkete skall med elektroner i et atom ikke bidra til dets totale spinn. Det skyldes bare elektroner i ikke-fulle skall og da ofte valenselektronene. Hvert slikt elektron vil ha en dreieimpuls Li og et indre spinn Si. Mellom elektronene virker ikke-sentrale Coulomb-krefter som resulterer i koblinger mellom alle disse spinnene. Også spinn-banekoblingen har sin opprinnelse her. Resultatet er at de individuelle spinnene til de enkelte elektroner generelt ikke er bevarte. Men for de atomene hvor spinn-bane-koblingen er liten i forhold til de andre effektene, vil den totale dreieimpulsen og det totale, intrinsikke spinnet til elektronene være konstante og benyttes til å klassifisere egentilstandene til atomet. Dette gjelder for de atomer hvor ladningstallet Z < 40. Vekselvirkning mellom elektronene sies da å være beskrevet ved en Russell-Saunders-kobling eller «LS-kobling». Det totale spinnet til atomet er da
med tilstander der kvantetallet J angir egenverdien for J2 og Mħ er egenverdien for Jz. Disse kan konstrueres ved hjelp av Clebsch-Gordan-koeffisienter fra egentilstandene med tilsvarende egenverdier for L2, S2, Lz og Sz på helt analogt vis med det tidligere tilfellet for et elektron der S = 1/2. For et odde antall elektroner er S alltid halvtallig, mens dette kvantetallet er heltallig for et like antall elektroner. Når L > S, vil J ta 2S + 1 ekvidistante verdier fra til , mens for S > L vil man ha tilsvarende 2L + 1 verdier fra til .
Det magnetiske momentet til et slikt atom er gitt som matriseelementet av operatoren
som er definert til å være proporsjonalt med g J. Dermed kan g-faktoren nå beregnes på tilsvarende måte som for S = 1/2. Mest direkte følger resultatet ved å multiplisere begge sider av definisjonen med operatoren J. Det gir
der igjen 2J⋅S = J2 + S2 - L2. Dermed har man det generelle resultat for Landés g-faktor
for et atomet hvor elektronene er LS-koblet til et totalt spinn gitt ved kvantetallet J.
For spinn-dubletten S = 1/2, kan formelen forenkles. Det skjer også for spinn-tripletter S = 1 der J = L + 1, L og L - 1. Da gir den
For D-tilstander som har L = 2, er derfor verdiene g3 = 4/3, g2 = 7/6 og g1 = 1/2. Summen av dem er lik med 3 = 2S + 1. Dette viser seg å være tilfelle også for andre verdier av S og L så lenge som S < L. Dette er et eksempel på en mer generell «summeregel».
Landés utledning av g-faktoren
Før Landé begynte å interessere seg for den anomale Zeeman-effekten i 1920, var det etablert med sikkerhet at de eksperimentelle resultatene for frekvensoppsplittingen Δω av en spektrallinje i et ytre magnetfelt B alltid kunne skrives som
hvor ωL = eB/2me er Larmor-frekvensen til elektronet og s og r er hele tall. Dette er Runges lov. Mye av det eksperimentelle og teoretiske arbeidet hadde dreidd seg om å bestemme disse tallene og finne lovmessigheter for dem i forskjellige spektralserier og multipletter. P. Forman, Alfred Landé and the anomalous Zeeman Effect, 1919-1921, Hist. Stud. Phys. Sci. 2, 153–261 (1970).
Samme år hadde Sommerfeld publisert et større arbeid om disse spørsmålene. A. Sommerfeld, Allgemeine spektroskopische Gesetze, insbesondere ein magnetooptischer Zerlegungssatz, Ann. d. Phys. 63, 221 - 263 (1920). Der foreslo han at da en spektrallinje i Bohrs atommodell oppstår ved en overgang mellom to energitilstander E1 og E2 til atomet, må dette gjelde også for den anomale Zeeman-effekten. Derfor må det forventes at Runges lov må ha den mer spesielle formen
Runge-nevneren r er derfor et produkt mellom to andre, heltallige nevnere r1 og r2 som karakteriserer begynnelsestilstanden og sluttilstanden til atomet ved denne overgangen.
Fenomenologisk etablering
Ut fra grundig kjennskap til målte verdier av heltallene som inngikk i Runges lov, gikk Landé i gang med å knytte disse til de kjente kvantetallene for atomets ulike tilstander. Våren 1921 kunne han forklare alle egenskaper ved den anomale Zeeman-effekten ved å skrive den magnetiske forskyvningen av et energinivå i atomet som
Her er m er det magnetiske kvantetallet for tilstanden og g en ny faktor avhengig av de andre kvantetallene, En overgang mellom nivåene E1 og E2 gir da en spektrallinje med forskyvningen
som nå erstatter Runges lov. A. Landé, Über den anomalen Zeemaneffekt, Zeit. f. Physik 5, 231 - 241 (1921).
I sitt arbeid kunne Landé gi analytiske uttrykk for g-faktoren både for dubletter og tripletter med energinivå. Oftest er den et rasjonalt tall. Men det som ble kontroversielt med denne fremstillingen, var at det magnetiske kvantetallet m måtte også kunne ta halvtallige verdier. Og det var helt i motstrid med både Bohrs atommodell og den mer moderne Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen.
Heisenbergs Rumpf-modell