miniatyr|I denna transformation ändras den röda pilens riktning vilket inte är fallet med den blå pilen. Därför är den blå pilen en egenvektor med egenvärdet 1 då dess längd inte ändras Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.
Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet.
Definitioner mini|Den linjära avbildningen A ändrar inte riktningen för vektorn x, bara dess storlek. Alltså är x en egenvektor till A
mini|Transformationsmatrisen bevarar riktningen hos de vektorer som är parallella med vektorerna (i blått) och (i violett). Punkterna som ligger på en linje genom origo som är parallell med någon egenvektor, ligger kvar på linjen efter transformationen. De röda vektorerna är inte egenvektorer då deras riktningar ändras av transformationen
Låt F vara en linjär avbildning från ett linjärt rum V till samma rum. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att , för något tal är en egenvektor till F med egenvärdet .
Om F kan framställas som en matris A är , där matrisen U är en matris av egenvektorer.
Mängden av egenvärden kallas den linjära avbildningens spektrum.
Sekularekvationen Antag en linjär avbildning av n-dimensionella vektorer definierade av en n × n-matris A,
eller
där, för varje rad, .
Om v är en skalär multipel av w, det vill säga om
då är v en egenvektor till den linjära avbildningen A och skalfaktorn λ är det egenvärde som svarar mot egenvektorn. Ekvation (1) är egenvärdesekvationen till matrisen A och kan formuleras som
där I är identitetsmatrisen.
Ekvation (2) har en nollskild lösning v om och endast om determinanten till matrisen (A − λI) är noll. Egenvärdena till A är därför de λ som satisfierar sekularekvationen till A:
Vänsterledet till ekvation (3) är ett polynom i λ av grad n,
vilket kallas det karaktäristiska polynomet till A.
Algebrans fundamentalsats innebär att karaktäristiska polynomet kan faktoriseras som
där varje λi kan vara ett reellt eller komplext tal. Talen λ1, λ2, ... λn, är polynomets nollställen och är egenvärdena till A.
Om är en multipelrot som förekommer m gånger sägs ha den algebraiska multipliciteten m.
Triangulär matris Determinanten till en triangulär matris
är produkten av elementen i diagonalen:
Sekularekvationen för en triangulär matris blir då
vilken uppenbarligen har lösningarna
En n×n-matris kan överföras till en triangulär matris utan att dess egenvärden ändras.
Om A är en godtycklig n×n-matris gäller därför A:s spår är
Determinanten till A är
Egenvärdena till är
Exempel Antag att en linjär avbildning ges av matrisen A enligt
Sekularekvationen
blir
där det karakteristiska polynomet i λ har rötterna
vilka alltså är avbildningens egenvärden.
Enligt ekvationen
är de motsvarande egenvektorerna lösningarna till systemen
Det första systemet har lösningen
och det andra lösningen
De till egenvärdena
hörande egenvektorerna är alltså
och alla vektorer som är parallella med dessa.
Egenrum Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorerna till linjärtransformationen som svarar mot detta egenvärde. Antalet av dessa linjärt oberoende egenvektorer är egenrummets dimension och kallas egenvärdets geometriska multiplicitet.
Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten.
För en kvadratisk matris A, kan egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen
som löses för vektorn x för alla egenvärden, exempelvis som ett linjärt ekvationssystem.
ExempelBestäm de egenrum som hör till matrisen A's egenvärden.
Sekularekvationen
ger den karakteristiska ekvationen
vars lösningar är egenvärdena
Enligt ekvationen
är egenvektorerna lösningarna till ekvationssystemet
Ekvationssystemet kan lösas genom att först görs en triangulering.
Beräkning av egenrum och egenvektor för egenvärdet 5
x3 kan sättas till den godtyckliga parametern t och lösningen är
Det till egenvärdet 5 hörande egenrummet är endimensionellt då egenvektorn x beskriver en linje.
Beräkning av egenrum och egenvektorer för egenvärdet 2
x2 och x3 kan sättas till de godtyckliga parameterarna s respektive t och lösningen är
Det till egenvärdet 2 hörande egenrummet är tvådimensionellt då egenvektorerna
spänner upp ett plan.
Transformationer i planet Tabellen visar några exempel på transformationer i planet tillsammans med dessas 2×2 matriser, egenvärden och egenvektorer. Horisontell skjuvning Skalning Olikformig skalning Moturs rotation med radianerIllustration 175px|center|Horizontal shear mapping 175px|Equal scaling (homothety 175px|Vertical shrink (k2 < 1) and horizontal stretch (k1 > 1) of a unit square. 175px|Rotation by π/6 = 30°Matris Karakteristisk ekvation λ2 − 2λ+1 = (1 − λ)2 = 0 λ2 − 2λk + k2 = (λ − k)2 = 0 (λ − k1)(λ − k2) = 0 λ2 - 2λ cos φ + 1 = 0Egenvärden λi λ1=1λ1=kλ1 = k1, λ2 = k2λ1,2 = cos φ ± i sin φ = e ± iφAlgebraiska och geometriska multiplicitetern1 = 2, m1 = 1n1 = 2, m1 = 2n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1 n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1 Egenvektorer
Tillämpningar Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år. Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen.
Inom hållfasthetsläran används egenvärdesanalys för att studera spännings- och töjningstensorer. Egenvärdena ger tensorernas extremvärden som används för bedömning av risk för brott eller plastisk deformation.
Även inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.
Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.
Se även Generaliserad egenvektor Egenfunktion
Källor
Kategori:Linjär algebra Kategori:Abstrakt algebra Kategori:Matristeori