Kopula () on moniulotteinen kertymäfunktio, jonka reunajakaumat ovat tasajakautuneita välillä (0,1). Vaihtoehtoisesti kopulaa voidaan luonnehtia funktioksi, joka määrittää satunnaismuuttujien yhteisjakauman niiden reunajakaumien perusteella. Kopuloita käytetään satunnaismuuttujien riippuvuuden mallintamiseen, ja niillä on sovelluksia muun muassa kvantitatiivisessa rahoituksessa ja lääketieteessä.
Perusteet Toisistaan riippuvien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa ei yleisesti ottaen voida määrittää pelkästään niiden reunajakaumien perusteella. Riippuvuusrakennetta voidaan kuitenkin kuvata kopulaksi kutsutulla funktiolla . Nimittäin kuvausperhe määrittää satunnaisvektorin ) yhteisjakauman täydellisesti.
Määritelmä Avaruudessa kopula on satunnaisvektorin yhteiskertymäfunktio
missä satunnaisvektorin komponentit ovat tasajakautuneita välillä ja on todennäköisyys.
Ominaisuuksia Kopulalle on voimassa seuraavat ominaisuudet: on kasvava kunkin komponentin suhteen, jos vektorin kukin komponentti saa arvon yksi lukuun ottamata komponenttia , ja kaikilla ja , joille kaikilla pätee
missä ja .
Kolmas ehto takaa, että . Lisäksi mielivaltainen funktio on kopula, jos se toteuttaa edelliset kolme ehtoa.
Keskeisiä lauseita Synteesi Jos on kopula avaruudessa ja ovat kertymäfunkioita avaruudessa , niin
on yhteiskertymäfunktio satunnaisvektorille, jonka komponenttien kertymäfunktiot ovat
Tuloksen nojalla mielivaltainen kopula yhdistettynä kokoelmaan mielivaltaisia kertymäfunktioita tarjoaa tavan muodostaa yhteisjakaumia, joissa riippuvuusrakennetta voidaan kuvata halutulla tavalla.
Sklarin lause Lauseen esitti alun perin Abe Sklar vuonna 1959 ja se takaa, että mielivaltainen yhteisjakauma voidaan esittää kopulan avulla. Olkoon jokin yhteiskertymäfunktio, jolla on reunakertymäfunktiot . Tällöin on olemassa sellainen kopula , että
kaikilla
Kopulan yksikäsitteisyys Olkoon yhteiskertymäfunktio, jolla on jatkuvat reunakertymäfunktiot . Tällöin on olemassa täsmälleen yksi kopula , jolle pätee esitys
Fréchet’n–Hoeffdingin estimaatit Kertymäfunktioiden virittämä Fréchet-luokka on niiden yhteiskertymäfunktioiden kokoelma, joilla on reunakertymäfunktiot Olkoon . Tällöin
kaikilla Epäyhtälöryhmän vasen ja oikea puoli tunnetaan Fréchet'n–Hoeffdingin estimaatteina.
Kopulaperheet
Gaussin kopula Olkoon multinormaalisti jakautunut satunnaisvektori eli , korrelaatiomatriisi ja satunnaisvektorin yhteiskertymäfunktio. Tällöin Gaussin kopula on
missä on standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio. Gaussin kopula on ainoastaan korrelaatiomatriisin funktio, koska normaalijakauman tapauksessa korrelaatiot määrittävät koko riippuvuusrakenteen.
Arkhimedeen kopulat
Kopula on Arkhimedeen kopula, jos
missä on jatkuva, aidosti vähenevä ja konveksi funktio, on parametri joukosta . Lisäksi funktiota kutsutaan generaattorifunktioksi ja sillä on oltava ominaisuus sekä funktiota kutsutaan pseudokäänteisfunktioksi, joka määritellään
+ Yleisimmät Arkhimedeen kopulat Kopulan nimi Kaksiulotteinen kopula Parametri Generaattori Käänteinen generaattori Ali–Mikhail–Haq
Clayton
Frank
Gumbel
Riippumattomuus
Joe
Kopuloiden käyttö ohjelmointikielissä R Matlab
Katso myös Tiheysfunktio Jatkuva satunnaismuuttuja
Viitteet
Luokka:Todennäköisyyslaskenta